Left

Adjust your browser window

Right

Eksperimentālā matemātika - tā ir dabas pētīšana.
Tikai šī daba atrodas mūsu datoros... (vairāk...)

Specseminārs datorzinātnē


Vēsture

2007.gada rudens semestris

5 dalībnieki:
Jānis Avotiņš
Kaspars Balodis
Jānis Iraids
Mārtiņš Opmanis
Rihards Opmanis

2007.gada rudens semestra darbības virzieni

Lekcijas un semināri par eksperimentālo matemātiku.

Naturālu skaitļu attēlošana ar kvadrātu summām - "uzmetiet" ātri programmu, kas skata cauri naturālos skaitļus no 1 līdz N un katram skaitlim n drukā 4 skaitļus x, y, z, t tādus, ka n = x2+y2+z2+t2. Cik tālu (līdz cik lielam N) Jūsu programma tiks?

Nereducējamie skaitļi (pirmskaitļu jēdziena jauni varianti).

Vizualizācijas programmatūra.

Palīguzdevumi, kas bieži parādās, risinot "nopietnos" uzdevumus (risinājumus varam mēģināt būvēt paši, bet varam arī sameklēt internetā):

- [sqrt(N)]: ātri izvilkt kvadrātsakni no naturāla skaitļa N, precīzāk - ātri aprēķināt N kvadrātsaknes veselo daļu, t.i. atrast vislielāko k tādu, kam k2<=N.

- Naturālu skaitli N ātri sadalīt pirmreizinātajos, piemēram, 360 = 23*32*51. Programmas rezultāts - divi skaitļu masīvi, piemēram, skaitlim 360: (2, 3, 5), (3, 2, 1).

Uzdevumi 2007.gada rudens semestrim

Neviens atsevišķs uzdevums nav obligāts, bet pozitīvas atzīmes iegūšanai noteikts punktu skaits tomēr būs jāsavāc...

1.uzdevums. Uzrakstiet programmu, kas saņem kā parametru skaitli N un izvada teksta datnē katram skaitlim no 1 līdz N visus iespējamos sadalījumus 4 kvadrātu summā. Piemēram: n=7 s=2 1 1 1 (jo 7 = 22+12+12+12) vai n=17 s=4 1 0 0 s=3 2 2 0 (jo 17 = 42+12 = 32+22+22). Cits paraugs. Var drukāt arī citādā formātā. Ar cik lielu N Jūsu programma tiks galā? (Savas 1.uzdevuma programmas sūtiet man ar e-pastu, publiski mēs parasti apspriežam tikai idejas.)

2.uzdevums. Sameklējiet internetā visu jaunāko būtisko informāciju par Goldbaha hipotēzi un Goldbaha komētu. Un uzrakstiet par to 3 lpp. referātu.

3.uzdevums. Definīcijas. Uzrakstiet programmu, kas saņem kā parametru skaitli N un izvada teksta datnē katram skaitlim no 1 līdz N tā īsāko attēlojumu garumu ar pirmā, otrā un trešā veida izteiksmēm. Ipaši iezīmējiet 2-nereducējamos skaitļus un 3-nereducējamos skaitļus.

4.uzdevums. Sk. Pirmskaitļi, spirāles un polinomi. Uzrakstiet programmu, kas saņem kā parametru skaitli N, izskata visus skaitļu trijniekus a, b, c, kam -N<=a<=N, -N<=b<=N, -N<=c<=N, katram trijniekam aplūko polinoma ax2+bx+c vērtības pie x=0, x=1, x=2, ... un noskaidro pirmo x, kam šī vērtība NAV pirmskaitlis (tātad no 0 līdz x-1 visu laiku iznāk pirmskaitļi). Izdrukā a, b, c un visus minētos x pirmskaitļus.

5.uzdevums. Piemērs. Ir zināms, ka vienādojuma y2-109*x2=1 mazākajā netriviālajā (t.i. kur x nav 0) atrisinājumā x=15 140 424 455 100 (t.i. 15 triljonu!). Tātad varam teikt, ka skaitlis 109 var kalpot par minētā ļoti lielā skaitļā "kodu" (pēc kura to var "atšifrēt"). Uzrakstiet programmu, kas atrod vēl citus tādus skaitļus D, kam vienādojuma y2-Dx2=1 mazākajā netriviālajā (t.i. kur x nav 0) atrisinājumā x ir daudz lielāks par D. Teoriju, kas varētu atvieglot risinājumu sk. http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html, kā arī http://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation un http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pell.html.


Mūsu pirmā gada skaistākais rezultāts

Ir zināms, ka katru naturālu skaitli N var attēlot kā 4 kvadrātu summu: N = x2+y2+z2+t2 (tā ir Lagranža teorēma). Piemēram, 7 = 22+12+12+12 vai 15 = 32+22+12+12. Ja mums ir labs dators, mēs varam pētīt, cik un kādos veidos katru skaitli var attēlot kā kvadrātu summu, mēģinot uztaustīt negaidītas likumsakarības (kaut kas līdzīgs data mining - datizracei).

Šādu eksperimentu rezultātā Ģirts Strazdiņš pamanīja, ka katru skaitli N var izteikt vai nu kā 3 kvadrātu summu: N = x2+y2+z2 , vai arī kā 4 kvadrātu summu, kurā divi kvadrāti ir vienādi , t.i. N = x2+y2+2z2. Šī hipotēze tika eksperimentāli pārbaudīta un apstiprināta līdz N=1 000 000. Bet pierādīt to kā teorēmu mums pagaidām nav izdevies... Eksperimentus turpināsim - varbūt "uztaustīsim" pierādījuma ideju?


2006.gada pavasara semestris

3 dalībnieki:
Dāvis Krastiņš (daawis at gmail dot com)
Oskars Pļavnieks (oskarsplavnieks at inbox dot lv)
Ģirts Strazdiņš (girts dot strazdins at gmail dot com) - aizstāvēja bakalaura darbu par Exp Math tēmu.

Rezultāti un metodes, ar ko eksperimentālie matemātiķi lepojas visvairāk.

Pirmais pavasara semestra uzdevums - Goldbaha hipotēze un Goldbaha komēta.

Otrais pavasara semestra uzdevums - Daudzstāvu kāpināšana reāliem skaitļiem

(7.februārī) Kaut kas līdzīgs mūsu problēmām ar skaitļu attēlošanu ar izteiksmēm ir izlasāms grāmatā:

Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory. 3rd Edition, Springer, 2004, sk. nodaļu F26 (JPEG, 750 KB).


2005.gada rudens semestris

4 dalībnieki:
Gunta Daļecka
Dāvis Krastiņš
Oskars Pļavnieks
Ģirts Strazdiņš

(19.decembrī) Ātrā Furjē transformācija - papildināts.

(1.decembrī) Dāvja jaunā programma (400 KB) nereducējamo skaitļu pētīšanai (parametri: m - līdz kuram skaitlim rēķināt, n - līmeņu skaits).

(29.novembrī) Jaunumi un problēmas un filosofiskajā virzienā.

(28.novembrī) Guntas referāts par super-datoriem

(24.novembrī) Nereducējamie skaitļi līdz 33000 (5 MB) - jaunais Dāvja ieteiktais formāts.

(15.novembrī) Jaunumi un jautājums un filosofiskajā virzienā.

Guntas referāts par summu virknēm (addition chains)

1.uzdevums ieskaitei

Ar Lagranža teorēmu saistītā teorija

18.oktobra vēstule par Ģirta grafiku

17.oktobra vēstule par 5 kvadrātu summām