Left

Adjust your browser window

Right

2008.gada pavasara semestra nodarbību konspekti


22.februāra nodarbības konspekts

1. Vispirms apspriedām Kaspara janvārī sūtītajās vēstulēs minētos rezultātus par skaitļiem, ko var sadalīt četru kvadrātu summā tikai vienā veidā, tikai divos veidos utt.

Hipotēze 1. Četru kvadrātu summā tikai vienā veidā var sadalīt tikai šādus skaitļus: 0, 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 2*4m, 2*3*4m, 2*7*4m, katram m>=0.

0 = 02+02+02+02 ;
1 = 12+02+02+02 ;
3 = 12+12+12+02 ;
5 = 22+12+02+02 ;
7 = 22+12+12+12 ;
11 = 32+12+12+02 ;
15 = 32+22+12+12 ;
23 = 32+32+22+12 ;
2*4m = (2m)2+(2m)2+02+02 ;
2*3*4m = (2*2m)2+(2m)2+(2m)2+02 ;
2*7*4m = (3*2m)2+(2*2m)2+(2m)2+02 ;

Kasparam uzreiz izdevās pierādīt pusi no šīs hipoēzes: visi šeit minētie skaitļi tiešām ir sadalāmi četru kvadrātu summā tikai augstākminētajā vienā veidā. Otrās puses pierādījums, liekas, būs sarežģītāks: jāpierāda, ka visi pārējie skaitļi ir sadalāmi vismaz divos veidos!

Riharda priekšlikums "pārejo" skaitļu ģenerēšanai: X = 4n+1 utt. Jau gatavojos šīs idejas aprakstīt, kad atnāca Kaspara vēstule, kurā viņš tās attīstījis līdz galam.

Kaspara vēstule (24.februārī, 00:26):

Labvakar,

Skaitļus, kas atlikumā dod 1 vai 2 pēc moduļa 4, var izteikt 3 kvadrātu summā (jo tie nav formā 4m*(8k+7)). Ja eksistē 5 tādi dažādi kvadrāti a12, a22, a32, a42, a52, ka skaitli x-ai2 var izteikt 3 kvadrātu summā, tad skaitli x var izteikt 4 kvadrātu summā vismaz 2 veidos.

Ja skaitlis dod atlikumā 1 pēc moduļa 4 un ir lielāks par 64, tad to var izteikt vismaz 2 veidos:
x-0 == 1 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-4 == 1 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-16 == 1 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-36 == 1 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-64 == 1 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā

Ja skaitlis dod atlikumā 2 pēc moduļa 4 un ir lielāks par 16, tad to var izteikt vismaz 2 veidos:
x-0 == 2 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-1 == 1 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-4 == 2 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-9 == 1 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-16 == 2 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā

Ja skaitlis dod atlikumā 3 pēc moduļa 4 un ir lielāks par 81, tad to var izteikt vismaz 2 veidos:
x-1 == 2 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-9 == 2 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-25 == 2 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-49 == 2 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā
x-81 == 2 (mod 4) - var izteikt 3 kvadrātu summā

Skaitli 4*x var izteikt 4 kvadrātu summā vismaz tikpat veidos, cik skaitli x:
Katram skaitļa x 4 kvadrātu izteikumam:
x = a2 + b2 + c2 + d2
var uzrakstīt 4*x izteikumu:
4*x = (2a)2 + (2b)2 + (2c)2 + (2d)2

Tātad, pietiek pārliecināties, ka līdz 81 nav skaitļu, ko var sadalīt 4 kvadrātu summā tikai 1 veidā un kas nav:
0, 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 2*4m, 2*3*4m, 2*7*4m
Un pārliecināties arī, ka:
4*1, 4*3, 4*5, 4*7, 4*11, 4*15, 4*23 var izteikt 4 kvadrātu summā vairāk kā 1 veidā.
Un hipotēzes otra puse ir pierādīta.

Vēstules beigas.

Hipotēze 2. Četru kvadrātu summā tieši divos veidos var izteikt tikai skaitļus 9, 13, 17, 19, 21, 29, 31, 35, 39, 47, 71,
2*2*4m
2*5*4m
2*6*4m
2*10*4m
2*11*4m
2*15*4m
2*22*4m
2*23*4m.

Trešo Kaspara novērojumu (viņš to pierādīja!) var vispārināt tā:

Teorēma. a) Ja skaitlis, kas dalās ar 8, ir sadalīts 4 kvadrātu summā, tad tie visi ir pārskaitļu kvadrāti. b) Skaitļiem 2N un 8N ir vienāds sadalījumu skaits 4 kvadrātu summā.

Pierādījums. a) Nepārskaitļa kvadrāts, dalot ar 8, dod atlikumā 1. Tiešām, 12=1, 32=8+1, 52=24+1, 72=48+1. Tātad, ja 8N=x2+y2+z2+t2, un kāds no šiem kvadrātiem (x) ir nepārskaitlis, tad 8N-x2=y2+z2+t2, kas nav iespējams, jo 8N-x2 tad ir 8K+7, bet (saskaņā ar Dirihlē teorēmu) tāds skaitlis nevar būt 3 kvadrātu summa. Q.E.D.

Piezīme. Ievērosim, ka te tiek izmantota tikai Dirihlē teorēmas visvieglāk pierādāmā daļa: skaitlis 8K+7 nevar būt 3 kvadrātu summa.

b) Ja 2N=x2+y2+z2+t2, tad 8N=(2x)2+(2y)2+(2z)2+(2t)2. Un arī otrādi, ja 8N ir 4 kvadrātu summa, tad (saskaņā ar a punktu) tie visi ir pārskaitļu kvadrāti, t.i. 8N=(2x)2+(2y)2+(2z)2+(2t)2, t.i. 2N=x2+y2+z2+t2. Tādā veidā starp 2N un 8N sadalījumiem 4 kvadrātu summām ir izveidota bijekcija. Q.E.D.

Hipotēze. Ja paskatās programmu rezultātos, tad iznāk, ka ir arī otrādi: ja skaitlis nedalās ar 8, tad tam eksistē sadalījums 4 kvadrātu summā, kurā ir vizmaz viens nepārskaitlis. Vai šo hipotēzi mēs pratīsim pierādīt?

2. Savulaik, gatavojot bakalaura darbu, Ģirts Strazdiņš atrada internetā K. Jakobi rezultātus par sadalījumu skaitu 2 un 4 kvadrātu summās. Jakobi skaitlim N skaita vienādojumu x2+y2=N, x2+y2+z2+t2=N atrisinājumus (nevis kā mēs - tikai ne-negatīvos un tādus, ka x>=y>=z>=t). T.i. Jakobi skaita ne tikai 32+22+12+02 bet arī 02+22+32+12 ; (-3)2+22+(-1)2+02 utt.

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).

Sk. http://www.math.ohio-state.edu/~econrad/Jacobi/sumofsq/node7.html. Divi citāti:

Theorem (Jacobi's Two Square Theorem). The number of representations of a positive integer as a sum of two squares is equal to four times the difference of the numbers of divisors congruent to 1 and 3 modulo 4.

Theorem (Jacobi's Four Square Theorem) The number of representations of an integer as the sum of four squares is equal to eight times the sum of all its divisors which are not divisible by 4.

Vai no otrās Jakobi teorēmas nevaram kaut ko secināt par Kaspara hipotēzēm? Piemēram, skaitlim 2*4m ir tikai divi dalītāji, kas nedalās ar 4 - tie ir 1 un 2. Tātad ir jābūt 8*(1+2)=24 kvadrātu summām. Un tā arī ir: (2m)2+(2m)2+02+02 var 24 veidos pārkārtot (arī - pieliekot mīnusus pie 2m). Tiešām, 2 nulles 4 vietās var izvietot C42 = (4*3)/(2*1)=6 veidos, bet mīnusus pie diviem 2m var pielikt 4 veidos. Kopā: 6*4=24. Tātad principā, no Jakobi teorēmas seko, ka 2*4m var sadalīt 4 kvadrātu summa (mūsu izpratnē) tikai vienā veidā.

3. Mārtiņa eksperimentu turpinājums, ko viņš pats apraksta.

Mārtiņa vēstule (25.februārī, 16:54)

Sveiki!

Ko dators ir iespējis starpsesiju pārtraukumā "1+*" izteiksmju jomā:

Ir skrupulozi pārbaudītas vērtības līdz 47700000, meklējot īsāko iespējamo izteiksmi. Ja dažādām izteiksmēm garumi bija vienādi, tad tika ņemta tā, kas ir ar mazāku rangu (+* koka dziļumu).

Labās ziņas: Visas vērtības formā 2a*3b*5c, kur c<6, tiešām ir 2.ranga izteiksmes (izņēmumi ir 4 un 5, kas ir pirmā ranga izteiksmes).

Ir atradusies viena vērtība, kurai labākā izteiksme ir iegūstama, piecreiz pēc kārtas pielietojot "+1":
21080617 (rangs 5, garums 54).
Ja necenstos pēc labākā ranga, bet skatītos tikai garumu, tad ī sērija pārtrūktu pie trim secīgiem "+1", jo 21080616 var iegūt ar "*2" ar to pašu kopgarumu.

Ir atradušās četras vērtības, kur labākā izteiksme beidzas ar "+6" (jeb +2*3) :
 22697747 (5,55)
 31288319 (7,57)
 37419479 (7,57)
 38441122 (5,55)
Visos četros minētajos gadījumos nostrādāja "ranga uzlabošana" - t.i. izteiksmi ar šādu pat garumu ir iespējams iegūt ar "+1", bet rangs būtu lielāks.

Priecē, ka lielākus reizinājumus kā beidzamo saskaitāmo nav bijis izdevīgi pielietot.

Līdz ar to varētu uzturēt spēkā hipotēzi par "+1" pietiekamību, ja neskatās uz mazāko rangu,  bet tikai garumu,  vai arī  papildināt iespējamo saskaitāmo klāstu ar  "+6" . Otrais rezultāts, protams, būtu skaistāks.

P.S. Pilnā rezultātu faila izmērs šobrīd ir 866MB.

Vēstules beigas.


29.februāra nodarbības konspekts

1. Apspriedām, ko mūsu problēmā (par skaitļiem, kurus 4 kvadrātu summā var sadalīt tikai vienā, divos utt. veidos) varētu dot Jakobi teorēma par vienādojuma x2+y2+z2+t2=N atrisinājumu skaitu skaitlim N.

Theorem (Jacobi's Four Square Theorem) The number of representations of an integer as the sum of four squares is equal to eight times the sum of all its divisors which are not divisible by 4.

Par Jakobi metodi, ar kuras palīdzību viņš šo rezultātu ieguva, sk. http://www.math.ohio-state.edu/~econrad/Jacobi/sumofsq/node7.html.

Secinājām, ka ceļš no vienādojuma x2+y2+z2+t2=N atrisinājumu skaita līdz sadalījumu skaitam 4 kvadrātu summā kā mēs to saprotam (mēs prasām, lai x>=y>=z>=t>=0) ir garš un ķēpīgs. Tas varētu nozīmēt arī, ka vienkārša un skaista atrisinājuma mūsu problēmai nemaz nav...

[Atgriežoties pie iepriekšējās nodarbības hipotēzes par to, ka ja skaitlis N nedalās ar 8, tad tam eksistē sadalījums 4 kvadrātu summā, kurā ir vizmaz viens nepārskaitlis (skaitlis 1), Kaspars atzīmēja, ka to var viegli pierādīt. Tiešām, ja N nedalās ar 8, tad N-1 nav 8K+7, tātad, saskaņā ar Dirihlē teorēmu ("grūtais" gadījums), N-1 ir sadalāms 3 kvadrātu summā, un tāpēc N = x2+y2+z2+12. Q.E.D.]

Kaspars domā, ka tāpat kā viņam izdevās pierādīt hipotēzi 1, ar to pašu metodi varētu pierādīt arī hipotēzi 2, un arī hipotēzi 3, ja kāds papūlētos to "uzstādīt", un arī hipotēzi 4 utt. Hipotēzi 3 papūlējos uzstādīt pats (vai nekļūdos, beigdams ar 95 un 2*46?):

Teorēma 1. Četru kvadrātu summā tikai vienā veidā var sadalīt tikai šādus skaitļus: 0, 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23,
2*4m,
2*3*4m,
2*7*4m, katram m>=0.

Hipotēze 2. Četru kvadrātu summā tieši divos veidos var izteikt tikai skaitļus 9, 13, 17, 19, 21, 29, 31, 35, 39, 47, 71,
2*2*4m
2*5*4m
2*6*4m
2*10*4m
2*11*4m
2*15*4m
2*22*4m
2*23*4m.

Hipotēze 3. Četru kvadrātu summā tieši trijos veidos var izteikt tikai skaitļus: 25, 27, 33, 37, 41, 43, 51, 53, 55, 59, 79, 95,
2*9*4m,
2*13*4m,
2*14*4m,
2*19*4m,
2*30*4m,
2*31*4m,
2*46*4m.

Vai mēs pratīsim atklāt kādas likumsakarības tajās nepārskaitļu virknītēs? Vai - vertikālo stabiņu vidējos reizinātājos?


14. marta nodarbības protokols

1. Vispirms apspriedām vienu no trijiem slavenākajiem matemātiskajiem pierādījumiem, kuros izmantots dators - pierādījumu, ka nav iespējama 10. kārtas projektīvā plakne. Sīkāk sk. http://www.ltn.lv/~podnieks/slides/whatis/Podnieks_Nature.htm

 

2. Rihards bija veicis eksperimentus, mēģinot noskaidrot, kā mainās sadalījumu skaits 4 kvadrātu summā, pārejot no nepāru skaitļa N pie skaitļa 4N (atcerēsimies, ka pāru skaitlim N un skaitlim 4N ir vienāds sadalījumu skaits). Izskatās, ka skaitlim 4N (ja N - nepāra) sadalījumu skaits ir 2 līdz 3 reizes lielāks nekā skaitlim N. Pie tam:

Hipotēze. Ja N=8K+7, tad skaitlim 4N sadalījumu skaits ir tieši 3 reizes lielāks nekā skaitlim N.

Tepat uz vietas mēģinājām šo hipotēzi pierādīt. Rihardam pašam tas daļēji arī izdevās.

Pieņemsim, ka N = 8K+7 = a2+b2+c2+d2.

Pirmkārt, tad 4N = (2a)2+(2b)2+(2c)2+(2d)2. Tas ir viens vieds, kā no skaitļa N sadalījuma 4 kvadrātu summā rodas kvadrātu summa skaitlim 4N.

Lai hipotēzi pierādītu (vismaz uz vienu pusi), jāatrod vēl divi veidi. Aplūkojot piemērus no Jāņa Avotiņa datnes, piemēram:

N = 47
6 3 1 1
5 3 3 2

N = 188 = 4*47
13 3 3 1
12 6 2 2
11 7 3 3
10 6 6 4
9 9 5 1
9 7 7 3

(liekas, Mārtiņš) ievēroja, ka 6+3+1+1=11, 5+3+3+2=13, t.i. skaitlim 4N dažas no kvadrātu summām sākas ar (a+b+c+d)2. Tad Rihards uzreiz piedāvāja bildē redzamo identitāti:

4(a2+b2+c2+d2) = (a+b+c+d)2+(a+b-c-d)2+(a-b+c-d)2+(a-b-c+d)2.

(Atverot iekavas, iznāk, ka 2ab+2ab-2ab-2ab=0 utt. t.i. paliek tikai kvadrāti.) Pārbaudot konkrētus skaitļus (sk. bildi), izrādījās, ka labās puses izteiksme tiešām ģenerē vēl vienu no vajadzīgajām skaitļa 4N kvadrātu summām.

Pēc tam Rihards uzrakstīja vēl vienu līdzīgu identitāti:

4(a2+b2+c2+d2) = (-a+b+c+d)2+(a-b+c+d)2+(a+b-c+d)2+(a+b+c-d)2.

Aplūkotajos konkrētajos piemēros tā ģenerē trūkstošo trešo kvadrātu summu skaitlim 4N.

Atliek divas lietas: a) pierādīt, ka katra no trim izteiksmēm ģenerē savu atšķirīgu kvadrātu summu, b) kas skaitlim 4N citas kvadrātu summas nav iespējamas.

 

3. Mani eksperimenti, mēģinot precizēt Hipotēzes 1, 2, 3.

Skaitļi, kas ir kvadrātu summa tikai vienā veidā.

viens kvadrāts: 0, 1

divi: 2, 5, 8, 32, 128, 512, ... (5, 2*4m)

trīs: 3, 6, 11, 14, 24, 56, 96, 224, 384, ... (3, 11, 2*3*4m, 2*7*4m)

četri: 7, 15, 23

Skaitļi, kas ir kvadrātu summa tieši divos veidos.

abas četri kvadrāti, jeb

(4, 4): 31, 39, 47, 71

(4, 3): 12, 19, 21, 22, 30, 35, 44, 46, 48, 88, 120, 176, ... (19, 21, 25, 2*6*4m, 2*11*4m, 2*15*4m, 2*22*4m, 2*23*4m)

(4, 2): 10, 13, 20, 40, 80, 160, ... (13, 2*5*4m, 2*10*4m)

(4, 1): 4, 16, 64, 256, ... (2*2*4m)

(3, 3): nav

(3, 2): 17, 29

(3, 1): 9

(2, 2): nav

(2, 1): nav

(1, 1): nav (jo nevar būt)

Skaitļi, kas ir kvadrātu summa tieši trijos veidos.

(4, 4, 4): 28, 55, 60, 79, 92, 95, 112, 240, 368, 448, 960, 1472, ... (55, 79, 95, 2*14*4m, 2*30*4m, 2*46*4m)

(4, 4, 3): 43

(4, 4, 2): 37

(4, 4, 1): nav

(4, 3, 3): 27, 33, 38, 51, 59, 62, 152, 248, ... (27, 33, 51, 59, 2*19*4m, 2*31*4m)

(4, 3, 2): 18, 26, 53, 72, 104, ... ( 53, 2*9*4m, 2*13*4m)

(4, 3, 1): nav

(4, 2, 2): nav

(4, 2, 1): 25

(4, 1, 1): nav (jo nevar būt)

(3, 3, 3): nav

(3, 3, 2): 41

(3, 3, 1): nav

(3, 2, 2): nav

(3, 2, 1): nav

(3, 1, 1): nav (jo nevar būt)

(2, 2, 2): nav

(2, 2, 1): nav

(2, 1, 1): nav (jo nevar būt)

(1, 1, 1): nav (jo nevar būt)

Nekādas jaunas idejas neradās, ja neskaita to, ka katra no rindām (2*19*4m, 2*31*4m utt.) iekļaujas vienā variantā. Bet tas nav nekas jauns, jo visiem vienas rindas skaitļi atšķiras ar reizinātaju 4.


28. marta nodarbības protokols

Rihards turpināja būvēt pierādījumu savām hipotēzēm:

A) Ja N - nepāra, tad skaitlim 4N sadalījumu skaits četru kvadrātu summā ir 2 līdz 3 reizes lielāks nekā skaitlim N. Pie tam:

B) Ja N=8K+7, tad skaitlim 4N sadalījumu skaits ir tieši 3 reizes lielāks nekā skaitlim N.

Pieņemsim, ka N ir jebkāds naturāls skaitlis un N = a2+b2+c2+d2, kur a>=b>=c>=d. Šādus sadalījumus 4 kvadrātu summās sauksim par sakārtotiem. Tad šādas 3 operācijas ģenerē skaitļa 2N sadalījumus 4 kvadrātu summās (vienādības ir viegli pārbaudīt):

Alfa: 2N = (a+b)2+(a-b)2+(c+d)2+(c-d)2;

Beta: 2N = (a+c)2+(a-c)2+(b+d)2+(b-d)2;

Gamma: 2N = (a+d)2+(a-d)2+(b+c)2+(b-c)2.

Lemma 1. Jebkuram naturālam N: ja operācijas Alfa, Beta, Gamma pielieto visiem sakārtotiem skaitļa N sadalījumiem, tad iegūst visus skaitļa 2N sadalījumus.

Pierādījums. Aplūkosim jebkuru sadalījumu 2N = x2+y2+z2+t2. Tad vai nu visi x, y, z, t ir pāra skaitļi, vai nu tie visi ir nepāra skaitļi, vai arī divi ir pāra un divi - nepāra. Tādā gadījumā varam uzskatīt, ka x, y ir vienāda paritāte, un arī z, t ir vienāda paritāte, un bez tam varam uzskatīt, ka x+y>=z+t; x>=y; z>=t. Tāpēc, pirmkārt, visi 4 skaitļi:
a=(x+y)/2; b=(x-y)/2; c=(z+t)/2; d=(z-t)/2
ir veseli nenegatīvi skaitļi, un N = a2+b2+c2+d2. Ievērosim arī, ka: x=a+b; y=a-b; z=c+d; t=c-d.
Bez tam: a>=b; a>=c; c>=d. Tātad a>=b, c, d. No skaitļiem b, c, d lielākais var būt tikai b vai c.

Ja tas ir b, tad b>=c>=d, un sadalījums 2N = x2+y2+z2+t2 ir radies no N = a2+b2+c2+d2 ar operāciju Alfa.

Ja tas ir c, tad vai nu c>=b>=d, vai arī c>=d>=b. Pirmajā gadījumā sadalījums 2N = x2+y2+z2+t2 ir radies no N = a2+c2+b2+d2 ar operāciju Beta. Otrajā gadījumā sadalījums 2N = x2+y2+z2+t2 ir radies no N = a2+c2+d2+b2 ar operāciju Gamma.

Tātad sadalījums 2N = x2+y2+z2+t2 jebkurā gadījumā ir radies no kāda sakārtota N sadalījuma ar kādu no operācijām Alfa, Beta, Gamma. Q.E.D.

Secinājums 1. Jebkuram naturālam N: skaitlim 2N sakārtotu sadalījumu skaits četru kvadrātu summā ne vairāk kā 3 reizes pārsniedz skaitļa N sakārtoto sadalījumu skaitu.

Pierādījums. Visi 2N sadalījumi rodas no sakārtotiem N sadalījumiem ar operāciju Alfa, Beta, Gamma palīdzību. Q.E.D.

Tagad atkal pētīsim pāreju no N uz 4N.

Pieņemsim, ka N ir jebkāds naturāls skaitlis un N = a2+b2+c2+d2, kur a>=b>=c>=d (sakārtots sadalījums). Kā tika konstatēts iepriekšējā nodarbībā, šādas 3 operācijas ģenerē skaitļa 4N sadalījumus 4 kvadrātu summās (vienādības ir viegli pārbaudīt):

Delta: 4N = (2a)2+(2b)2+(2c)2+(2d)2.

Dzeta: 4N = (-a+b+c+d)2+(a-b+c+d)2+(a+b-c+d)2+(a+b+c-d)2.

Eta: 4N = (a+b+c+d)2+(a+b-c-d)2+(a-b+c-d)2+(a-b-c+d)2.

Lemma 2. Jebkuram naturālam N: ja operācijas Delta, Dzeta, Eta pielieto visiem sakārtotiem skaitļa N sadalījumiem, tad iegūst visus skaitļa 4N sadalījumus.

Pierādījums. Saskaņā ar Lemmu 1, no skaitļa N sakārtotiem sadalījumiem visus 4N sadalījumus var iegūt, divreiz pielietojot operācijas Alfa, Beta, Gamma. Atliek pārliecināties, ka visas šīs 27 divkāršās kombinācijas rezultātā dod tikai operācijas Delta, Dzeta un Eta. Pieņemsim, ka N ir jebkāds naturāls skaitlis un N = a2+b2+c2+d2, kur a>=b>=c>=d.

1) Garā versija (šo versiju varat nelasīt). Aplūkosim 3 gadījumus:

a) a>=b+c+d.
b) b+c-d<=a<=b+c+d.
c) a<=b+c-d.

a) a>=b+c+d.

Pielietojot pirmo reizi Alfa: 2N = (a+b)2+(a-b)2+(c+d)2+(c-d)2; iznāk, ka a+b>=a-b>=c+d>=c-d, t.i. kvadrātu secība ir "pareizā". Ja tagad kā otro operāciju pielieto Alfa:, tad iegūst kvadrātus skaitļiem 2a, 2b, 2c, 2d, t.i. operāciju Delta. Ja kā otro operāciju pielieto Beta, tad iegūst kvadrātus skaitļiem a+b+c+d, a+b-c-d, a-b+c-d, a-b-c+d, t.i. operāciju Eta. Ja kā otro operāciju pielieto Gamma, tad iegūst kvadrātus skaitļiem a+b+c-d, a+b-c+d, a-b+c+d, a-b-c-d, t.i. operāciju Dzeta. [Šeit tātad: Alfa * Alfa = Delta; Beta * Alfa = Eta; Gamma * Alfa = Dzeta.]

Pielietojot pirmo reizi Beta: 2N = (a+c)2+(a-c)2+(b+d)2+(b-d)2; iznāk ka a+c>=a-c>=b+d>=b-d, t.i. kvadrātu secība ir "pareizā". Ja tagad kā otro operāciju pielieto Alfa:, tad iegūst kvadrātus skaitļiem 2a, 2c, 2b, 2d, t.i. operāciju Delta. Ja kā otro operāciju pielieto Beta, tad iegūst kvadrātus skaitļiem a+c+b+d, a+c-b-d, a-c+b-d, a-c-b+d, t.i. operāciju Eta. Ja kā otro operāciju pielieto Gamma, tad iegūst kvadrātus skaitļiem a+c+b-d, a+c-b+d, a-c+b+d, a-c-b-d, t.i. operāciju Dzeta. [Šeit tātad: Alfa *Beta = Delta; Beta * Beta = Eta; Gamma * Beta = Dzeta.]

Pielietojot pirmo reizi Gamma: 2N = (a+d)2+(a-d)2+(b+c)2+(b-c)2; iznāk ka a+d>=a-d>=b+c>=b-c, t.i. kvadrātu secība ir "pareizā". Ja tagad kā otro operāciju pielieto Alfa:, tad iegūst kvadrātus skaitļiem 2a, 2d, 2b, 2c, t.i. operāciju Delta. Ja kā otro operāciju pielieto Beta, tad iegūst kvadrātus skaitļiem a+d+b+c, a+d-b-c, a-d+b-c, a-d-b+c, t.i. operāciju Eta. Ja kā otro operāciju pielieto Gamma, tad iegūst kvadrātus skaitļiem a+d+b-c, a+d-b+c, a-d+b+c, a-d-b-c, t.i. operāciju Dzeta. [Šeit tātad: Alfa *Gamma = Delta; Beta * Gamma = Eta; Gamma * Gamma = Dzeta.]

b) b+c-d<=a<=b+c+d.

Pielietojot pirmo reizi Alfa: 2N = (a+b)2+(a-b)2+(c+d)2+(c-d)2; iznāk, ka a-b<=c+d, t.i. lai kvadrātu secība būtu "pareizā", vidējie divi kvadrāti ir jāmaina vietām: 2N = (a+b)2+(c+d)2+(a-b)2+(c-d)2, tad a+b>=c+d>=a-b>=c-d. Ja tagad kā otro operāciju pielieto Alfa:, tad iegūst kvadrātus skaitļiem a+b+c+d, a+b-c-d, a-b+c-d, a-b-c+d, t.i. operāciju Eta. Ja kā otro operāciju pielieto Beta, tad iegūst kvadrātus skaitļiem 2a, 2b, 2c, 2d, t.i. operāciju Delta. Ja kā otro operāciju pielieto Gamma, tad iegūst kvadrātus skaitļiem a+b+c-d, a+b-c+d, a-b+c+d, a-b-c-d, t.i. operāciju Dzeta. [Šeit tātad: Alfa * Alfa = Eta; Beta * Alfa = Delta; Gamma * Alfa = Dzeta.]

Pielietojot pirmo reizi Beta: 2N = (a+c)2+(a-c)2+(b+d)2+(b-d)2; iznāk ka a+c>=a-c<=b+d>=b-d, t.i. lai kvadrātu secība būtu "pareizā", vidējie divi kvadrāti ir jāmaina vietām: 2N = (a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2, tad a+c>=b+d>=a-b>=c-d.

...

Pielietojot pirmo reizi Gamma: 2N = (a+d)2+(a-d)2+(b+c)2+(b-c)2; iznāk ka a+d>=a-d<=b+c>=b-c, t.i. lai kvadrātu secība būtu "pareizā", vidējie divi kvadrāti ir jāmaina vietām: 2N = (a+d)2+(b+c)2+(a-d)2+(b-c)2, tad a+d>=b+c>=a-d>=b-c.

...

c) a<=b+c-d.

Pielietojot pirmo reizi Alfa: 2N = (a+b)2+(a-b)2+(c+d)2+(c-d)2; iznāk, ka a-b<=c-d, t.i. lai kvadrātu secība būtu "pareizā", otrais kvadrāts ir jāpārceļ uz beigām: 2N = (a+b)2+(c+d)2+(c-d)2+(a-b)2, tad a+b>=c+d>=c-d>=a-b.

...

Pielietojot pirmo reizi Beta: 2N = (a+c)2+(a-c)2+(b+d)2+(b-d)2; iznāk, ka a-c<=b-d, t.i. lai kvadrātu secība būtu "pareizā", otrais kvadrāts ir jāpārceļ uz beigām: 2N = (a+c)2+(b+d)2+(b-d)2+(a-c)2, tad a+c>=b+d>=b-d>=a-c.

...

Pielietojot pirmo reizi Gamma: 2N = (a+d)2+(a-d)2+(b+c)2+(b-c)2; iznāk, ka a+d<=b+c, t.i. lai kvadrātu secība būtu "pareizā", trešais kvadrāts ir jāpārceļ priekšā: 2N = (b+c)2+(a+d)2+(a-d)2+(b-c)2, tad b+c>=a+d>=a-d>=b-c.

...

Vai ir kāda ideja, kā ātri aizpildīt atstātos daudzpunktus?

2) Vidējā versija. Rihards iesaka ievērot operāciju Delta, Dzeta un Eta simetriskumu: neatkarīgi no tā, kādā secībā ir sakārtoti skaitļi a, b, c, d, katra no šīm operācijam dod to pašu skaitļa 4N sakārtoto sadalījumu. Tātad mums tikai (tīri algebriski) jāpārliecinās, ka pielietojot pēc kārtas divas operācijas Alfa, Beta, Gamma jebkuram N sadalījumam a, b, c, d, mēs iegūsim kādu no operācijām Delta, Dzeta, Eta. Šeit tātad būs jāapskata 9 gadījumi (nevis 27 kā garajā versijā) un tad var pārliecināties, ka:

Alfa o Alfa = Delta;
Beta o Alfa = Eta;
Gamma o Alfa = Dzeta;
Alfa o Beta = Delta;
Beta o Beta = Eta;
Gamma o Beta = Dzeta;
Alfa o Gamma = Delta;
Beta o Gamma = Eta;
Gamma o Gamma = Dzeta.

3) Visīsākā versija. Vai vēl īsāk: Alfa o X = Delta; Beta o X = Eta; Gamma o X = Dzeta, kur X ir jebkura no operācijām Alfa, Beta, Gamma. Un šīs trīs vienādības, liekas, var pārbaudīt pavisam viegli: operācija X dod izteiksmi (x+y)2+(x-y)2+(z+t)2+(z-t)2, kur x, y, z, t ir skaitļu a, b, c, d permutācija. Šai izteiksmei pielietojot Alfa, Beta, Gamma, rodas attiecīgi izteiksmes Delta, Eta, Gamma. Šis pierādījuma variants laikam arī bija prātā Rihardam, kad viņš rakstīja uz tāfeles.

Q.E.D.

Secinājums 2. Jebkuram naturālam N: skaitlim 4N sadalījumu skaits četru kvadrātu summā ne vairāk kā 3 reizes pārsniedz skaitļa N sadalījumu skaitu.

Pierādījums. Visi 4N sadalījumi rodas no N sadalījumiem ar operāciju Delta, Dzeta un Eta palīdzību. Q.E.D.

Tālāk būtu jāseko Riharda otrās hipotēzes pierādījumam:

Hipotēze. Ja N=8K+7, tad skaitlim 4N sakārtoto sadalījumu skaits ir tieši 3 reizes lielāks nekā skaitlim N.

Pierādījuma mēģinājums. Jāparāda, ka vienam un tam pašam skaitļa N sadalījumam operācijas Delta, Dzeta un Eta nevar dot vienādus rezultātus.

Ja N=8K+7 un N = a2+b2+c2+d2, tad neviens no a, b, c, d nevar būt nulle (Dirihlē teorēmas "vieglā puse"). Visi nepāra skaitļu kvadrāti, dalot ar 8, atlikumā dod 1, tātad no skaitļiem a, b, c, d viens ir pāra skaitlis (pie tam - 2 reiz nepāra skaitlis) un trīs - nepāra skaitļi.

Tas nozīmē, ka operācijas Dzeta un Eta ģenerē tikai nepāra skaiļu kvadrātus. Tā kā Delta ģenerē tikai pāra skaitļu kvadrātus, tad tas nozīmē, ka skaitlim N=8K+7 operācijas Delta rezultāts nekad nesakrīt ar Dzeta vai Eta rezultātu.

Bet nevienam skaitlim N nevar sakrist arī Dzeta un Eta rezultāti. Jo Eta ģenerētais skaitlis a+b+c+d ir lielāks par katru Dzeta skaiti..

Tātad, ja N=8K+7, tad no katra sakārtota N sadalījuma operācijas Delta, Dzeta un Eta ģenerē 3 dažādus 4N sadalījumus.

Atliek pārliecināties, ka dažādiem sakārtotiem N sadalījumiem ģenerētie 4N sadalījumi nekad nevar sakrist.

Bet tālāk netikām...


18. aprīļa nodarbības protokols

Turpinājām nepabeigto mēģinājumu pierādīt Riharda otro hipotēzi:

Hipotēze. Ja N=8K+7, tad skaitlim 4N sakārtoto sadalījumu skaits ir tieši 3 reizes lielāks nekā skaitlim N.

Rihards atgādināja vienu no saviem apsvērumiem, kurš nebija iekļuvis iepriekšējās nodarbī bas protokolā:

Lemma 3. Ja N=8K+7, tad skaitļa 2N sadalījumā 4 kvadrātu summā ir divi pāra kvadrāti un divi nepāra kvadrāti.

Pierādījums. Aplūkosim jebkuru sadalījumu 2N = x2+y2+z2+t2. Tad vai nu visi x, y, z, t ir pāra skaitļi, vai nu tie visi ir nepāra skaitļi, vai arī divi ir pāra un divi - nepāra. Bet: 2N=16K+14 = 8(2K+1)+6. Tā kā kvadrāts, dalot ar 8, atlikumā var dot tikai 0, 1 vai 4, tad x, y, z, t kvadrātiem šī atlikumu kombinācija var būt tikai 0, 1, 1, 4 (summā jābūt 6). Q.E.D.

Secinājums 3. Ja N=8K+7, tad skaitļa 2N katrs sadalījums 4 kvadrātu summā rodas no tieši viena N sakārtota sadalījuma (nevis no vairākiem) ar kādu no operācijām Alfa, Beta, Gamma.

Pierādījums. Saskaņā ar Lemmu 1, katrs 2N sadalījums 2N = x2+y2+z2+t2 rodas no kāda N sadalījuma N = a2+c2+d2+b2 ar kādu no operācijām:

Alfa: 2N = (a+b)2+(a-b)2+(c+d)2+(c-d)2;

Beta: 2N = (a+c)2+(a-c)2+(b+d)2+(b-d)2;

Gamma: 2N = (a+d)2+(a-d)2+(b+c)2+(b-c)2.

Katrā no šīm formulām pirmo divu un otro divu saskaitāmo paritātes ir vienādas. Pieņemsim, ka x, y ir pāra skaitļi, bet z, t - nepāra. Ja operācija ir Alfa, tad varam uzskatīt, ka a+b=x, a-b=y, c+d=z, c-d=t un iegūt: a=(x+y)/2, b=(x-y)/2, c=(z+t)/2, d=(z-t)/2. Operāciju Beta un Gamma gadījumā mēs iegūstam tieši tos pašus kvadrātus: (x+y)/2, (x-y)/2, (z+t)/2, (z-t)/2. Tātad no 2N = x2+y2+z2+t2 mēs varam viennozīmīgi atrast to sakārtoto sadalījumu N = a2+c2+d2+b2, no kura pirmais sadalījums radies ar vienu no operācijām. Q.E.D.

Diemžēl, tālāk netikām. Zinām, ka no katra N sadalījuma ar operācijām Alfa, Beta, Gamma rodas viens, divi vai trīs dažādi 2N sadalījumi, un ka dažādiem N sadalījumiem šīs 2N sadalījumu "kopiņas" nešķeļas. Bet tālāk, ejot no 2N uz 4N, procesu vairs neprotam "kontrolēt".

Seko tāfeles bildes:


23. maija nodarbības protokols

Rihardam beidzot izdevās līdz galam pierādīt savu hipotēzi:

Hipotēze. Ja N=8K+7, tad skaitlim 4N sakārtoto sadalījumu skaits ir tieši 3 reizes lielāks nekā skaitlim N.

22.marta nodarbības beigās mums izdevās parādīt, ka ja N=8K+7, tad no katra sakārtota N sadalījuma operācijas Delta, Dzeta un Eta ģenerē 3 dažādus 4N sadalījumus.

Atliek pārliecināties, ka dažādiem sakārtotiem N sadalījumiem ģenerētie 4N sadalījumi nekad nevar sakrist.

Atcerēsimies 22.marta nodarbības lemmu:

Lemma 2. Jebkuram naturālam N: ja operācijas Delta, Dzeta, Eta pielieto visiem sakārtotiem skaitļa N sadalījumiem, tad iegūst visus skaitļa 4N sadalījumus.

Šeit N = a2+c2+d2+b2 un:

Delta: 4N = (2a)2+(2b)2+(2c)2+(2d)2.

Dzeta: 4N = (-a+b+c+d)2+(a-b+c+d)2+(a+b-c+d)2+(a+b+c-d)2.

Eta: 4N = (a+b+c+d)2+(a+b-c-d)2+(a-b+c-d)2+(a-b-c+d)2.

Parādīsim, ka ja N=8K+7, tad katrs sadalījums 4N = x2+y2+z2+t2 var rasties tikai ar vienu no operācijam Delta, Dzeta, Eta, un tikai no viena sadalījuma N = a2+c2+d2+b2.

Ja N=8K+7 un N = a2+b2+c2+d2, tad neviens no a, b, c, d nevar būt nulle (Dirihlē teorēmas "vieglā puse"). Visi nepāra skaitļu kvadrāti, dalot ar 8, atlikumā dod 1, tātad no skaitļiem a, b, c, d viens ir pāra skaitlis (pie tam tas nedalās ar 4) un trīs - nepāra skaitļi. tas nozīmē, ka operācijas Dzeta un Eta ģenerē tikai nepārskaitļu kvadrātus.

Ja N=8K+7, tad 4N=32K+28=8(4K+3)+4. Skaitļa kvadrāts, dalot ar 8, vienmēr dod atlikumu 0, 1 vai 4. Tātad, ja 4N = x2+y2+z2+t2, tad dalot ar 8, skaitļu x, y, z, t kvadrāti var dot tikai šādus atlikumu komplektus: (4, 4, 4, 0), (4, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1).

Pirmajos divos gadījumos tātad sadalījums 4N = x2+y2+z2+t2 var rasties tikai ar operāciju Delta (jo Dzeta un Eta ģenerē tikai nepārskaitļu kvadrātus), un tikai no viena sadalījuma N = a2+c2+d2+b2, kuram: a=x/2, b=y/2, c=z/2, d=t/2.

Trešajā gadījumā toties 4N = x2+y2+z2+t2 nevar rasties ar operāciju Delta. Dalot ar 4, skaitļi x, y, z, t var dot tikai šādus atlikumu komplektus: (1, 1, 1, 1); (1, 1, 1, 3); (1, 1, 3, 3); (1, 3, 3, 3); (3, 3, 3, 3). Aplūkosim šos 5 gadījumus.

(1, 1, 1, 1): x+y+z+t dalās ar 4
(1, 1, 1, 3): x+y+z+t nedalās ar 4
(1, 1, 3, 3): x+y+z+t dalās ar 4
(1, 3, 3, 3): x+y+z+t nedalās ar 4
(3, 3, 3, 3): x+y+z+t dalās ar 4.

Operācijai Dzeta: x+y+z+t = 2(a+b+c+d), t.i. nedalās ar 4 (ja N=8K+7, tad a+b+c+d ir nepārskaitlis).
Operācijai Eta: x+y+z+t = 4a, t.i. dalās ar 4.

Tātad:

(1, 1, 1, 1): x, y, z, y nevar rasties ar operāciju Dzeta, t.i. radies ar Eta.
(1, 1, 1, 3): x, y, z, y nevar rasties ar operāciju Eta, t.i. radies ar Dzeta.
(1, 1, 3, 3): x, y, z, y nevar rasties ar operāciju Dzeta, t.i. radies ar Eta.
(1, 3, 3, 3): x, y, z, y nevar rasties ar operāciju Eta, t.i. radies ar Dzeta.
(3, 3, 3, 3): x, y, z, y nevar rasties ar operāciju Dzeta, t.i. radies ar Eta.

Ja x, y, z, t ir radies ar Dzeta, tad 2s = x+y+z+t = 2(a+b+c+d), s = a+b+c+d, x = s-2a, a=(s-x)/2, b=(s-y)/2, c=(s-z)/2, d=(s-t)/2. T.i. mēs esam atraduši to vienīgo skaitļa N sadalījumu, no kura varēja rasties x, y, z, t.

Ja x, y, z, t ir radies ar Eta, tad x+y+z+t = 4a, 2(a+b)=x+y, 2(a+c)=x+z, 2(a+d)=x+t. T.i. arī šajā gadījuma mēs varam atrast to vienīgo skaitļa N sadalījumu, no kura varēja rasties x, y, z, t.

Tātad, kā bija solīts, ir pierādīts, ka ja N=8K+7, tad katrs sadalījums 4N = x2+y2+z2+t2 var rasties tikai ar vienu no operācijam Delta, Dzeta, Eta, un tikai no viena sadalījuma N = a2+c2+d2+b2.

Kopā ar lemmu 2 tas dod Riharda hipotēzes pierādījumu. Q.E.D.

Tālāk seko Riharda paša rakstīts teksts:
----------------------------------------------------------------

Ja N ir formā N = 8*k+7 un 4N = a^2 + b^2 + c^2 + d^2.

Tad šo 4N sadalījumu (a,b,c,d) varēja iegūt vienā no trīs veidiem (no 2N sadalījumiem):
1) |a-b|/2, |a+b|/2, |c-d|/2 ,|c+d|/2
2) |a-c|/2, |a+c|/2, |b-d|/2 ,|b+d|/2
3) |a-d|/2, |a+d|/2, |b-c|/2 ,|b+c|/2

No katra no variantiem attiecīgi rodas tr?s iesp?jas no k?diem N sadal?jumiem tie var?ja rasties:
11) ||a+b| + |a-b||/4, ||a+b| - |a-b||/4, ||c+d| + |c-d||/4, ||c+d| - |c-d||/4,
12) ||a+b| + |c-d||/4, ||a+b| - |c-d||/4, ||c+d| + |a-b||/4, ||c+d| - |a-b||/4,
13) ||a+b| + |c+d||/4, ||a+b| - |c+d||/4, ||a-b| + |c-d||/4, ||a-b| - |c-d||/4,

21) ||a+c| + |a-c||/4, ||a+c| - |a-c||/4, ||b+d| + |b-d||/4, ||b+d| - |b-d||/4,
22) ||a+c| + |b-d||/4, ||a+c| - |b-d||/4, ||b+d| + |a-c||/4, ||b+d| - |c-b||/4,
23) ||a+c| + |b+d||/4, ||a+c| - |b+d||/4, ||a-c| + |b-d||/4, ||a-c| - |b-d||/4,

31) ||a+d| + |a-d||/4, ||a+d| - |a-d||/4, ||c+b| + |c-b||/4, ||c+b| - |c-b||/4,
32) ||a+d| + |c-b||/4, ||a+d| - |c-b||/4, ||c+b| + |a-d||/4, ||c+b| - |b-d||/4,
33) ||a+d| + |c+b||/4, ||a+d| - |c+b||/4, ||a-d| + |c-b||/4, ||a-d| - |c-b||/4,

Izmantojot ?pas?bu, ka ja ir doti divi skaitlji |a| un |b|, tad {|a| + |b|, |a| - |b|} = {|a+b|, |a-b|} ieg?st, ka ir tikai tr?s b?tiski at??ir?gi varianti no k?da N sadal?juma tas var?ja rasties:
1) a/2, b/2, c/2, d/2
2) |a+b+c-d|/4, |a+b-c+d|/4, |a-b+c+d|/4, |-a+b+c+d|/4
3)|a+b+c+d|/4, |a+b-c-d|/4, |a-b+c-d|/4, |a-b-c+d|/4

Ja N = 8k+7, tad 4N = 32k+28 = 8j+4.

Ja visi a,b,c,d ir pa?a skait?i, tad nep?ra skaits no tiem (1 vai 3) dalot ar 4 dod atlikumu 2, t?tad 2)un 3) varianti neder jo nesan?k veseli skait?i, t?tad ir skaidrs, ka tas ir ieg?ts no 1).


Ja visi skait?i a,b,c,d ir nep?ra skait?i (tad 1) variants nevar b?t, jo skait?i nedal?s ar 2, t?tad ?izv?las starp 2) un 3)), tad ir pieci veidi (simetrijas p?c) k?dus atlikumus tie var dot p?c modu?a 4:
a)1,1,1,1
Der tikai 3) variants, jo a+b+c-d - nedal?s ar 4.
b)1,1,1,3
Der tikai 2) variants, jo a+b+c+d - nedal?s ar 4.
c)1,1,3,3
Der tikai 3) variants, jo a+b+c-d - nedal?s ar 4.
d)1,3,3,3
Der tikai 2) variants, jo a+b+c+d - nedal?s ar 4.
e)3,3,3,3
Der tikai 3) variants, jo a+b+c-d - nedal?s ar 4.

T?tad katram gad?jumam ir piek?rtots tie?i viens gad?jums no k? tas var?ja rasties, t?tad tas ir viennoz?m?gi, t?tad vienu 4N sadal?jumu nevar ieg?t no diviem da??diem N sadal?jumiem.

-----------------------------------------
Riharda teksta beigas.