Goldbaha hipotēze un Goldbaha komēta

Goldbaha hipotēze ir kļuvusi ievērojama un pat slavena kā ļoti vienkāršs novērojums, kuru 250 gadu laikā tā arī nav izdevies pierādīt vispārīgā veidā.

1742.gadā Kristians Goldbahs (Christian Goldbach, 1690-1764) ievēroja šādu likumsakarību:

4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=7+5, 14=11+3, 16=13+3, 18=13+5, 20=17+3,22=19+3, 24=19+5, 26=23+3, 28=23+5,
30=23+7, 32=29+3, 34=31+3, 36=31+5, 38=31+7, 40=37+3, 42=37+5, 44=41+3, 46=43+3,
48=43+5, 50=47+3, 52=47+5,
54=47+7, 56=53+3, 58=53+5, 60=53+7, 62=59+3, 64=61+3, 66=61+5, 68=61+7, 70=67+3,
72=67+5, 74=71+3, 76=73+3,
78=73+5, 80=73+7, 82=79+3, 84=79+5, 86=83+3, 88=83+5, 90=83+5, 92=89+3, 94=89+5,
96=89+7, 98=79+19, 100=97+3,
102=97+5, 104=97+7, 106=103+3, 108=103+5, 110=107+3, 112=109+3, 114=109+5,
116=113+3, 118=113+5, 120=113+7,
122=109+13, 124=113+11, 126=113+13, 128=109+19, 130=127+3, 132=127+5, 134=131+3,
...

Tātad liekas, ka katru pārskaitli, sākot ar 4, var izteikt kā divu pirmskaitļu summu. Tā arī ir Goldbaha hipotēze. Novērojums ir ļoti vienkāršs: cik tālu vien spējam novērot, hipotēze rādās patiesa. Bet visparīgā veidā to neizdevās pierādīt ne vienam no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem Leonardam Eileram (kuram par savu novērojumu vēstulē paziņoja Goldbahs), ne citiem, kuri ar to mēģināja tikt galā turpmākajos 264 gados...

Ja Goldbaha hipotēzi mēs mēģinātu analizēt kā datoriķi, tad mūs vispirms ieinteresētu jautājums: cik dažādos veidos katru pārskaitli var attēlot kā divu pirmskaitļu summu? Te veidojas šāda aina:

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5
12=5+7
14=3+11=7+7
16=3+13=5+11
18=5+13=7+11
20=3+17=7+13
22=3+19=5+17=11+11
24=5+19=7+17=11+13
26=3+23=7+19=13+13
28=5+23=11+17
30=7+23=11+19=13+17
32=3+29=13+19
34=3+31=5+29=11+23=17+17
36=5+31=7+29=13+23=17+19
38=7+31=19+19
40=3+37=11+29=17+23
42=3+37=11+31=13+29=19+23
44=3+41=7+37=13+31
46=3+43=5+41=17+29=23+23
48=5+43=7+41=11+37=17+31=19+29
50=3+47=7+43=13+37=19+31
52=5+47=11+41=23+29
54=7+47=13+41=17+37=23+31
56=3+53=13+43=19+37
58=5+53=11+47=17+41=29+29
60=7+53=13+47=17+43=19+41=23+37=29+31
62=3+59=19+43=31+31
64=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41
66=5+61=7+59=13+53=19+47=23+43=29+47
68=7+61=31+37
70=3+67=11+59=17+53=23+47=29+41
72=5+67=11+61=13+59=19+53=21+43
...

Tik tālu man pietika pacietības sarēķināt bez datora. Ar melnu krāsu ir iezīmēti tie skaitļi, kuriem attēlošanas veidu skaits ir lielāks nekā visiem iepriekšējiem skaitļiem. Ar sarkanu krāsu ir iezīmēti "pēdējie" (?) skaitļi, kuriem attēlošanas veidu skaits ir ļoti mazs (1, 2, ...).

Nākošais solis būtu uzrakstīt datora programmu, kas šo statistiku parēķinātu vēl tālāk. Tad mēs redzētu, vai tādi skaitļi kā 68 (kuriem ir tikai 2 attēlojumi) tālāk vēl ir sastopami vai nav.

Atkāpe (šobrīd vēl nelasiet)

Taisot šo tabulu, man radās sajūta, ka pirmskaitļiem te nemaz nav izšķiroša loma - to vietā varētu būt arī cita skaitļu virkne...

Kādai jābūt šai virknei, lai GH tai neizpildītos?

~(4=a+b) 1+3 2+2, nesatur 2 un nesatur 1 vai 3. T.i. vai nu (1), vai (3). [2 no 8 variantiem]

~(6=c+d) 1+5 2+4 3+3, nesatur 3 un 1v5 un 2v4. T.i. vai nu (1), vai (2), (4), (5), (1,2), (1,4), (2,5), (4,5) [8 no 32 variantiem]

8=e+f 1+7 2+6 3+5 4+4, nesatur 4 un 1v7, 2v6, 3v5.

Turpinājums sekos (varbūt).

Viens no pavasara semestra uzdevumiem, par kuriem varēs iegūt punktus, tātad būs:

Uzrakstīt programmu, kura katram pārskaitlim n izvada teksta datnē skaitli G(n) - skaitļa n dažādo attēlojumu skaitu divu pirmskaitļu summā (n=p1+p2, kur p1<=p2).

Interesanti, ar cik lieliem n Jūsu programma tiks galā? No tā atkarīgs iegūstamo punktu skaits. Vai līdz 4 miljardiem tiksiet? Principā, programma, droši vien, izmantos vienu no divām iespējamām pieejām pirmskaitļiem - testēšanu vai ģenerāciju. T.i. Jūs varat uzrakstīt apakšprogrammu, kas prot ātri pārbaudīt, vai dotais skaitlis p ir pirmskaitlis (testēšanas pieeja). Bet Jūs varat arī uzrakstīt apakšprogrammu, kas prot ātri ģenerēt pirmskaitļus vienu aiz otra, un raksta tos masīvā.

Komēta

Šī uzdevuma galvenais trūkums it tas, ka citi cilvēki to jau ir atrisinājuši. Pameklējiet ar Google goldbach comet un apskatiet, piemēram:

Puzzle 82.- The Goldbach's Comet by www.primepuzzles.net

Goldbach Conjecture Research by Mark Herkommer

Eric W. Weisstein. "Goldbach Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web
Resource. http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html

Fractal in the statistics of Goldbach partition by Wang Liang, Huang Yan, Dai Zhi-cheng

Divi cilvēki, Henry F. Fliegel & Douglas S. Robertson, 1989.gadā mūsu uzdevumu jau bija mēģinājuši noprogrammēt, un rezultātā ieguvuši ļoti interesantu funkcijas G(n) grafiku, ko tagad sauc par Goldbaha komētu (sk. minētās saites).

Fliegel, H. F. and Robertson, D. S., "Goldbach's comet: the numbers related to Goldbach's conjecture," J. Recreational Math., 21:1 (1989) 1--7.

No šī grafika viņi secinājuši, ka G(n)>0,02745*n0,86, t.i. ka funkcija G(n) ne sevišķi ātri, bet konsekventi... tiecas uz bezgalību. Tas liekas vēl lielāks brīnums: G(n) tiecas uz bezgalību, bet neviens neprot pierādīt pat to, ka visiem pārskaitļiem n, G(n)>0! Citiem vārdiem: n augot, skaitlim n parādās arvien vairāk attēlojumu divu pirmskaitļu summā, bet neviens neprot pierādīt, ka katram n eksistē kaut vai viens tāds attēlojums!

Tad uzģenerēsim katrs savu Goldbaha komētu?

Interesantu ideju, kā to izdarīt, izmantojot Excel tabulas, piedāvā John Baker:

John Baker. Excel and the Goldbach Comet. Bond University, 2005.

Šajā rakstā Goldbaha komēta analizēta sīkāk, kā arī ievests Goldbaha ledājs (glacier).

 

Turpinājums sekos.