Filosofiskais virziens


Šajā virzienā jau esmu ieteicis palasīt 3 nelielus Dorona Zeilbergera rakstiņus (nevajag nobīties, ja tur ne viss būs uzreiz saprotams):

http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion66.html (ļoti svaigs, tikko parādījies)
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/priced.html
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion57.html


Matemātiķi pieraduši uzskatīt, ka katrs naturāls skaitlis ir "vieninieku summa". Bet skaitļa 21000 "vieninieku" skaits tālu pārsniedz elementārdaļiņu skaitu Visumā. Tāpēc varam uzskatīt, ka skaitlis 21000 nav vieninieku summa tai pašā nozīmē, kā neviens objekts nevar kustēties ar ātrumu, kas pārsniedz gaismas ātrumu. Bet uzrakstīt ātrumu 1 000 000 km/s mēs taču varam?

Skaitlim 21000 vismaz var uzrakstīt bināro pierakstu: 1000... 000 (tūkstoš nuļļu). Bet "divstāvu" pakāpei "2 pakāpē 21000" binārajā pierakstā būtu jāraksta jau 21000 nuļļu, kas, kā jau konstatējām, mūsu Visumā nav un nekad nebūs iespējams. Tātad mēs varam uzskatīt, ka skaitlis "2 pakāpē 21000" ne tikai nav vieninieku summa - tas nav arī pierakstāms binārajā skaitīšanas sistēmā.

Bet, izmantojot kāpināšanas operāciju, mēs taču varam uzrakstīt vēl daudz lielākas "daudzstāvu" izteiksmes (sk. piemēram, http://www.tetration.org/index.html)? Ko tad mēs tādā gadījumā darām, ja mūsu izteiksmes būtībā vairs neattēlo skaitļus?

Mana atbilde. Pašas izteiksmes, kaut arī tās vairs neattēlo skaitļus, tomēr ir pilnīgi reāli objekti. Un izteiksme "2 pakāpē 21000" pat ir ļoti īsa zīmju virkne. Mēs manipulējam ar izteiksmēm, nevis ar skaitļiem, kas it kā ir to "vērtības"! Izteiksmes, ko veidojam, izmantojot aritmētiskas operācijas, ir reālas, bet ne visas no tām attēlo reāli eksistējošus skaitļus. Tātad "reālā", "konkrētā" aritmētika ir zinātne par izteiksmēm, nevis par skaitļiem!

Ja vēlēsieties, parunāsim par dažām konkrētām interesantām matemātiskām problēmām, kas izriet no šīs jaunās filosofijas.

[2005.gada 15.novembrī] Nesen sapratu, ka te apspēlētais apgalvojums "ļoti lieli naturāli skaitļi dabā neeksistē" nav nemaz tik vienkārši pamatojams. Daļiņu skaits Visumā tiešām ir daudz mazāks par skaitli 21000. Bet vēl taču mēs varam "skaitīt" arī daļiņu pārus, trijniekus utt. - visas iespējamās daļiņu kopas (nesakārtotas vai pat sakārtotas). Ja Visumā ir N daļiņu, tad daļiņu kopu skaits jau ir 2N, bet daļiņu kopu kopu skaits 2 pakāpē 2N, utt.

Tiesa, šādi spriežot, mēs varētu iegūt ļoti lielus skaitļus pat no ... tukšas kopas. Tiešām, ja mums ir tukšā kopa o, tad mums ir arī kopa {o}, kura svienīgais elements ir tukšā kopa. Tagad mums ir jau divas kopas - o un {o}! Tātad mums ir arī trešā kopa {o, {o}}. Un tā tālāk, ja mums ir kopa x, tad operācija xU{x} dod jaunu kopu, kas ir lielāka par x. Tādā veidā, sākot ar pilnīgu tukšumu, mēs nonākam pie ... bezgalīgi daudzām kopām!

Kā šo paradoksu risināt? Es ticu, ka "bezgalība dabā neeksistē", bet ko īsti šis apgalvojums nozīmē? Vispirms palasiet adresē http://www.ltn.lv/~podnieks/gt1.html#entry2 un tad pamēģiniet izteikt savas domas. Gaidīšu e-pastā.

Tagad vēlreiz par to, ka "reālā", "konkrētā" aritmētika ir zinātne par izteiksmēm, nevis par skaitļiem. Ja naturālos skaitļus mēs esam paraduši uzlūkot kā vienveidīgu bezgalīgu virkni:

1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ...

tad izteiksmju "pasaule" jau ir daudz bagātāka. Pat ja savas izteiksmes mēs veidojam no skaitļa 1 un tikai divām operācijām - saskaitīšanas un reizināšanas (teiksim tad, ka mūsu operāciju bāze ir {1, +, *}), tad visu iespējamo izteiksmju ģenerācijas process dod jau daudz vājāk sakārtotu struktūru. Tiešām, ja mums jau ir uzģenerētas n izteiksmes e1, e2, ..., en, tad nākošajā solī katram pārim i, j varam ģenerēt jau divas izteiksmes - ei+ej un ei*ej.

Protams, mēs joprojām uzskatām, ka katrai izteiksmei ir "vērtība" - naturāls skaitlis, kuru "principā var izrēķināt". Bet ko tas nozīmē? Mēs jau zinām, ka, piemēram, izteiksmei 2^2^1000 vērtības binārā pieraksta garums būtu 2^1000, t.i. praktiski neiespējams skaitlis. Tātad par operāciju bāzi {1, +, *, ^} mēs nevaram droši apgalvot, ka protam katrai šīs bāzes izteiksmei "izrēķināt vērtību".

Varbūt, tad pakāpsimies soli atpakaļ, un necentīsimies izrēķināt to, ko nespējam - izteiksmju "vērtības". Tā vietā, jautāsim: vai mēs spējam salīdzināt izteiksmju vērtības, tās neizrēķinot? Tā jau ir konkrēta matemātiska problēma: dotas divas izteiksmes kādā operāciju bāzē, izteiksmju garumi nepārsniedz n, cik daudz laika (atkarībā no n) ir jāpatērē algoritmam, kas prot pateikt, kurai no izteiksmēm ir lielāka vērtība?

Skaistu piemēru var atrast adresē http://mathforum.org/library/drmath/view/66156.html:

"Comparing Very Large Numbers--Which Is Bigger?... How do you know whether 10^10!^10 is bigger than 9!^9!^9?"

Te operāciju bāzē iekļauta arī faktoriāla funkcija. Man nāk prātā pat vienkāršāks jautājums: cik daudz laika patērēs algoritms, kas prot noteikt, kura no izteiksmēm ir lielāka - a!b! vai c!d! (skaitļi a, b, c, d ir uzdoti binārājā pierakstā)?

Tādā veidā esam nonākuši pie konkrētām matemātiskām problēmām, kuru risinājumi man nav zināmi (un, šķiet, internetā arī nav atrodami):

Problēma 1. Dotas divas izteiksmes operāciju bāzē {1, +, *}, izteiksmju garumi nepārsniedz n, cik daudz laika (atkarībā no n) ir jāpatērē algoritmam, kas prot pateikt, kurai no izteiksmēm ir lielāka vērtība?(Sauksim to par izteiksmju vērtību salīdzinašanas algoritmu.)

Problēma 2. Dotas divas izteiksmes operāciju bāzē {1, +, *, ^}, izteiksmju garumi nepārsniedz n, cik daudz laika (atkarībā no n) ir jāpatērē izteiksmju vērtību salīdzinašanas algoritmam?

Problēma 3. Uzbūvēt operāciju bāzi, kurā izteiksmju vērtību salīdzinašanas algoritmam būs nepieciešams eksponenciāls laiks (vai pat laiks 2^2^n, kur n - garākās izteiksmes garums).

Problēma 4. Dotas divas operāciju bāzes. Cik sarežģīts (piemēram, laika ziņā) ir algoritms, kas katrai izteiksmei pirmajā bāzē atrod izteiksmi otrajā bāzē ar tādu pat vērtību?

J. E. Litlewood savā grāmatiņā A Mathematician’s Miscellany arī apspriež ļoti lielu skaitļu pierakstīšanas problēmu (te ir ievietota kopija no viņa raksta Large numbers, Mathematical Gazette, July 1948, vol. 32, N300). Viņš nobeidz ar vārdiem:

„Lasītājs piekritīs, ka mūsu uzrakstītie skaitļi ir lieli; tomēr, ir grūti iztēloties, cik tie lieli; viss, ko par tiem var pateikt, - ir tas, ka to definīcijas tos tiešām uzdod. Ja vajadzētu salīdzināt divus skaitļus no divām konkurējošām sistēmām, tad tā dēļ nāktos radīt solīdu matemātisko aparātu.”

Tātad Litlvuds jau 1948.gadā būtībā ir nonācis pie hipotēzes, ka lielu skaitļu salīdzināšana dažādos pierakstos ir ļoti grūta problēma.

Turpinājums sekos.