Left

Adjust your browser window

Right

Eksperimentālā matemātika

Rezultāti un metodes, ar ko eksperimentālie matemātiķi lepojas visvairāk.

Anotācija

Eksperimentālā matemātika ir mēģinājums, izmantojot mūsdienu datoru iespējas, tuvināt matemātiku dabas pētīšanai. Izmantojot datorus, var padziļināti eksperimentāli pētīt skaitļus, kombinatoriku un citas struktūras, atklājot tajās jaunas likumsakarības.

Ja mēs konstatējam, ka katru naturālu skaitli var izteikt kā 4 kvadrātu summu, piemēram, 15=32+22+12+12, vai tad tas nav "dabas likums"?

Vai arī, ka katru pārskaitli, kas lielāks par 2, var izteikt kā tikai divu pirmskaitļu summu, piemēram, 100=71+29? Vai tas nav vēl viens "dabas likums"?

Hipotēžu izvirzīšana un to eksperimentāla pārbaude te tiek uzskatīta par svarīgāku nekā teorēmu pierādīšana. Liekas, ka eksperimentālās matemātikas pasaule ir daudz bagātāka nekā matemātiķi spēj aptvert ar savu teorēmu pierādījumiem. Plaši tiek izmantotas Maple un Mathematica programmas.

Pirmo no minētajiem "dabas likumiem" 1770.gadā pierādīja kā teorēmu franču matemātiķis Ž. L. Lagranžs.

Bet otrais "likums" jau no 1742.gada ir zināms kā K.Goldbaha hipotēze, kuru vēl līdz šai dienai neviens nav varējis ne pierādīt, ne apgāzt! Bet kā eksperimentāls fakts šī hipotēze tagad ir ļoti labi pārbaudīta. Sk. piemēram, The Goldbach's Comet.

Varētu teikt, ka viens no eksperimentālās matemātikas intereseantākajiem uzdevumiem ir datizrace (data mining) matemātiskajās struktūrās (naturālajos skaitļos, reālajos un kompleksajos skaitļos, kombinatorikā, telpās utt.).

Meklējiet tīmeklī: "experimental mathematics", "David H. Bailey", Borwein, "Doron Zeilberger", "computational number theory".

Semināru varam uzreiz iesākt ar problēmām, ko var risināt semināra dalībnieki. Tādu ir daudz un lielākā daļa ir viegli noformulējamas. Pēc tam varešim iztirzāt citu autoru publicētos rakstus un grāmatas, Nodarbību veids - semināra vadītāja un dalībnieku referāti klātienē un tīmekļa lapās, programmu darbības demonstrējumi, diskusijas klātienē un e-forumā.

Paralēli semināra nodarbībām studenti varēs izvēlēties patstāvīgam darbam teorētiskus un eksperimentālus uzdevumus - kā pamatu nākamajiem kursa darbiem un nobeiguma darbiem.

Seminārs būs interesants gan tiem studentiem, kuriem nav vienaldzīga matemātika, gan tiem, kuriem algoritmu izgudrošana un to efektīva programmēšana liekas interesantāka par gatavu komponentu apgūšanu un izmantošanu.

Ja matemātiķis savā darbā nopietni izmanto datorus, tad viņa matemātika sāk līdzināties astronomijai (vai bioloģijai?) - jo jaudīgāks dators, jo stiprāks "teleskops" (vai "mikroskops"?). Ar stiprāka "teleskopa" palīdzību var saskatīt jaunas, agrāk nesasniedzamas "zvaigznes un galaktikas" - jaunas matemātiskas likumsakarības, kuras skaitliskos eksperimentos "uz papīra" nebija pamanāmas.

See if your name is in the digits of pi - USA, National Energy Research Scientific Computing Center


Sāksim ar tīmekļa vietni, kuru kā savu galveno ir izveidojuši šīs nozares entuziasti:

Experimental Mathematics Website

jeb http://www.experimentalmath.info

Noslēpumainais attēls

http://www.cecm.sfu.ca/~loki/Papers/Numbers/node9.html (autors Loki Jörgenson)

Šis attēls spilgtā formā demonstrē eksperimentālās matemātikas kopējo "noskaņu" - izmantojot datoru, ir iespējams pamanīt sakarības, kuras citādi mums nemaz nebūtu pieejamas. Un datu attēlošana iespaidīgā vizuālā formā ir viena no eksperimentālās matemātikas metodēm. Te nevajadzētu nobīties - pat ja nezinām kompleksos skaitļus un/vai tie mums liekas pretīgi - šis ir tikai vienas ( un ne jau tās svarīgākās) problēmas piemērs.

Gaišie punkti attēlo šādu vienādojumu (reālās un kompleksās) saknes:

x+1=0,
x-1=0,
x2+x+1=0,
x2+x-1=0,
x2-x+1=0,
x2-x-1=0,
x2+x+1=0,
x3+x2+x+1=0,
x3+x2+x-1=0,
...
utt. līdz 18-jai pakāpei. (Cik tur pavisam ir gaišo punktu?)

Piemēram, x2+x+1=0, x=-1/2±sqrt(1/4-1)=(-1±i*sqrt(3))/2.

Lielākā daļa attēlā redzamo efektu joprojām paliek neizskaidroti. Bet dažus ir viegli izskaidrot.

Piemēram, kāpēc attēla vidū ir melns caurums? Tāpēc, ka ja |x|<1/2, tad |x2|<1/4, |x3|<1/8, utt., t.i. |x+x2+...|<1 un 1+x+x2+...<>0, tātad šādi x nevar būt minēto vienādojumu saknes.

Kāpēc attēla ārpuse it tumša? Ja |x|>2, tad aizvietojot x ar 1/x, iegūstam citu aplūkojamās klases vienādojumu, kuram x ar |x|<1/2 nevar būt sakne.

Divas grāmatas

Vietnē minētās divas grāmatas ir mūsu rīcībā (pie manis):

Vol. 1: Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century.

Vol. 2: Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery.

Varam aplūkot arī grāmatu satura īsu pārstāstu: http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/expbook-C.pdf

Papildus informāciju iesākumam sk. šādās vietnēs:

Eric W. Weisstein. "Experimental Mathematics." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ExperimentalMathematics.html

Eric W. Weisstein et al. "Computational Number Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ComputationalNumberTheory.html

Tīmeklī pieejama 500 lpp. bieza grāmata:

A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (http://www.shoup.net/ntb/)", by Victor Shoup

Autors demonstrē daudzu parastās skaitļu teorijas algoritmu un teorēmu "datoriskos" aspektus. Piemēram, ja runa ir par veselu skaitļu reizināšanu vai dalīšanu, tad cik daudz laika šīm operācijām nepieciešams (t.s. algoritmu sarežģītība utml.).

Nozares klasiķi

David H. Bailey

Jonathan Borwein

Peter Borwein

Simon Plouffe

Doron Zeilberger

Dažāda informācija

Centre for Experimental and Constructive Mathematics of Simon Fraser University, Canada.

Experimental Mathematics - žurnāls, iznāk no 1992.gada.

Institut für Experimentelle Mathematik - Universität Duisburg-Essen - Vācija

Eksperimentālās matemātikas kurss MIT - http://www-math.mit.edu/18.821/index.html

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Svaiga konference

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/na/FoCM/FoCM05/

Foundations of Computational Mathematics, 30 June - 9 July 2005

WORKSHOP 9
Computational number theory
ORGANISERS: Alan Lauder & Jonathan Pila

 

Eric W. Weisstein. "Highly Composite Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HighlyCompositeNumber.html

Eric W. Weisstein. "Divisor Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DivisorFunction.html

Eric W. Weisstein. "Semiprime." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Semiprime.html


Rezultāti un metodes, ar ko eksperimentālie matemātiķi lepojas visvairāk

Visspilgtākais piemērs laikam ir šāds. Pirmkārt, šāda rinda (tajā tiek summētas veselo pozitīvo skaitļu ceturto pakāpju apgrieztie skaitļi) konverģē:

1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + 1/54 + ... + 1/n4 + ... = a = 1.0823232....

Tās summu esam apzīmējuši ar a. [Matemātiķi to apzīmē ar zeta(4) - tā ir t.s. Rīmana dzeta-funkcijas zeta(s) vērtība pie s=4. Ja vēlaties, sk. http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function un http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html]

Aplūkosim vēl vienu rindu (arī tā konverģē):

d2(1) + d2(2) + d2(3) + d2(4) + d2(5) + ... + d2(n) + ... = b = 4,59987...,

kur d(n) = (1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/n)/n, t.i. tiek summēti kvadrāti apgriezto skaitļu vidējām vērtībām. Šo summu esam apzīmējuši ar b.

Vai šīs summas a, b ir savā starpā kaut kā saistītas? Neizskatās. Un tomēr, 1993.gadā Vaterlo Universitātes students Enrico Au-Yeung pamanīja, ka 17a=4b. Kā kaut ko tādu var "pamanīt"?

Protams, ja mums jau ir ienācis prātā, ka 17a=4b, tad šo hipotēzi var mēģināt pārbaudīt, izrēķinot abas summas ar, piemēram, 100 ciparu precizitāti aiz komata. Rezultāts iznāk pozitīvs - jā 17a un 4b sakrīt ar precizitāti līdz 100 cipariem aiz komata. Tā varam turpināt... [Starp citu, kur ņemt programmu, kas prot rēķināt aritmētiskas izteiksmes ar jebkuru uzdoto precizitāti? Viena no tādām ir Maple. Vai esat ar to jau strādājuši?]

Arī tad, ja mums ienāktu prātā vismaz, ka dalījums a/b (vai b/a) ir racionāls skaitlis, mēs ātri nonāktu pie galarezultāta. Tiešam, mēs varētu mēģināt izrēķināt šo, piemēram b/a ar pietiekami lielu precizitāti. Tad mēs iegūtu 4,2500000..., kas mūs uzreiz novestu pie hipotēzes b = a*(4 1/4), jeb 4b=17a. Tiesa, ja mēs rēķinātu a/b, tad iegūtu 0, 5882352941176470 5882352941176470 588235... (periods sastāv no 16 cipariem, bet tas tāpat tas liecina, ka skaitlis ir racionāls, tikai to mēs tik ātri nepamanītu).

Bet, kā var rasties doma, ka tik ļoti dažādas summas kā a un b ir saistītas pavisam vienkāršā veidā? Jo dažādu vienkāršu izteiksmju ļoti daudz, bet vienkāršas to savstarpējas sakarības ir ārkārtīgs retums!

Starp citu, vēl - izrādās, ka 360*b = 17*pi4, kur pi ir visiem labi zināmais skaitlis pi.

Viena no patiešām skaistām eksperimentālās matemātikas nozarēm nodarbojas ar tādu algoritmu izgudrošanu, kas ļauj tikko minētās vienkāršās sakarības starp izteiksmēm meklēt nevis uz labu laimi, bet sistemātiski. Šo nozari sauc par Integer Relation Detection.

Vispārīgais uzdevums ir šāds: mums doti n reāli skaitļi x1, x2, ..., xn (parasti tos definē vai nu tādas bezgalīgas summas, kā tikko minētās, vai arī tās ir skaitļu pi, e utml. algebriskas kombinācijas). Jānoskaidro, vai eksistē ne pārāk lieli veseli skaitļi a1, a2, ..., an (kas ne visi ir nulles) tādi, ka

a1*x1 + a2* x2 + ... + an*xn = 0.

Mūsu piemērā Enrico Au-Yeung konstatēja, ka 17*a - 4*b = 0.

Viens no populārākajiem algoritmiem šī uzdevuma risināšanai ir t.s. PSLQ algoritms. Varat apskatīt http://mathworld.wolfram.com/IntegerRelation.html un http://mathworld.wolfram.com/PSLQAlgorithm.html.

Eilera konstante

Ar PSLQ algoritma palīdzību var pētīt arī slavenās matemātiskās konstantes, par kurām nav zināms, vai tās ir racionāli, vai iracionāli skaitļi, algebriski vai transcendenti skaitļi. Visslavenākā šai ziņā ir Eilera konstante gamma, kas ir robeža, uz kuru tiecas starpība

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n,

kad n tiecas uz bezgalību. Var izrēķināt, ka gamma = 0,57721566... (sīkāk sk. http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html). Speciālisti uzkata, ka gamma ir iracionāls skaitlis un pat transcendents, bet pieradīt to nevienam nav izdevies.

Ar Integer Relation Detection metodēm ir iespējams šī uzdevuma risināšanu pavirzīt uz priekšu. Ja gamma ir racionāls skaitlis, t.i. gamma = p/q, kur p un q - veseli skaitļi, tad q*gamma - p*1 = 0, t.i. starp gamma un 1 pastāv integer relation. Un ja šo sakarību mēģina meklēt ar PSLQ algoritma palīdzību, tad rezultātā noskaidrojas, ka ja gamma = p/q, tad q jābūt ļoti lielam skaitlim. Teorētiķi šo rezultātu ir pastiprinājuši, pierādot, ka ja gamma = p/q, tad q>10242080 (sk. http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html).

Ja kāds domā, ka gamma ir algebrisks skaitlis, piemēram, 50-tās pakāpes polinoma sakne (ar veseliem koeficientiem), tad arī to var mēģināt pārbaudīt ar Integer Relation Detection metodēm. Tiešām, ja

a0*gamma50 + a1*gamma49 + ... + a48*gamma2 + a49*gamma + a50=0,

tad tā ir integer realtion starp skaitļiem gamma50, gamma49, ... , gamma2, gamma, 1. Un PSLQ algoritms parāda, ka šī polinoma koeficientu absolūto vērtību summa noteikti būs lielāka par 7*1017 (Bailey and Plouffe, 1997).