Назад

Джордж Бокс (род. в 1919 г.),
один из классиков статистики

All models are wrong, but some are useful.
George E. P. Box

Box, G. E. P. (1979). Robustness in the strategy of scientific model building. In R. L. Launer, & G. N. Wilkinson (Eds.), Robustness in statistics (pp. 201-236). New York: Academic Press.


Фото: University of Wisconsin-Madison

Математика - математическое моделирование?

Теперь попытаемся подойти к математике еще с одной стороны - опираясь на понятие модели.

Разумеется, моделирование играет в науке важную роль. Перефразируя И. Канта*, я бы сказал даже более того: в каждой науке содержится столько настоящей науки, насколько она занимается моделированием. Некоторые науки пытаются моделировать сам процесс моделирования (например, философия?).

Оказывается, что математика обращается с моделями по-особому.

Модель - это "объект", который используется вместо другого объекта ("оригинала") с целью прогнозировать "поведение" последнего.

Идею модели должен был знать еще Н. И. Лобачевский, когда он пытался идентифицировать истинную геометрию физического пространства путем астрономических измерений. Дело в том, что (в отличие от Канта) ему была известна не одна возможная геометрия, а две (причем вторая - с параметром кривизны). И поэтому у него естественным образом возник совсем не кантианский вопрос: которая из геометрий лучше как описание физического пространства?

В биологии, например, модель живой клетки постоянно развивается, охватывая все новые и новые экспериментальные данные. Но что, если этот поток новой информации прекратить, и заявить, что отныне мы будем исследовать модель "как она есть" (несмотря на ее неточность)? И заниматься этим несколько лет? Я бы сказал, что именно в этот момент наша модель становится математической моделью.

*) Ich behaupte, dass, in jeder besonderen Naturwissenschaft, nur soviel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden kann, als darin Mathematik enthalten ist.

Отличительная черта -
застывший характер и самодостаточность

Многим все еще кажется, что математическая модель - это модель, построенная с помощью известных математических структур (чисел, пространств, функций итд.).

Но, по-моему, более точным отличителным признаком математических моделей является то, что эти модели оторваны от своих "оригиналов". Их исследованием можно заниматься годами (защищая множество диссертаций), к "оригиналам" больше не обращаясь. По-моему, именно это отличает математические модели от не-математических.

Таким образом, не какой-то специфический предмет отличает математику от других наук, а специфический метод - создавать и исследовать модели, полностью оторванные от моделируемых объектов.

More than anything else mathematics is a method. (Моррис Клайн)

Though this be madness, yet there is method in't. (Полоний - Гамлету, на этот "математический" экскурс В. Шекспира обратил внимание С. Лем в своей "Сумме технологий".)

Два перевода: Хоть это и безумие, но в нем есть метод. Хоть это и безумие, но в нем система есть.

Математик может произвольно модифицировать свою модель, даже разрушив ее (и так уже ограниченное) подобие "оригиналу". И заниматься такой моделью многие годы... Лобачевский начинал именно так.

В математику, по-моему, возможность такого экспериментирования заложена "по определению" - из-за оторванности моделей от "оригиналов", другими словами - из-за застывшего и самодостаточного характера математических моделей.

Базы данных - математические модели?

База данных предприятия - это, несомненно, модель этого предприятия. Чем полнее база данных, тем лучше она может использоваться в качестве замены самого предприятия - для сбора статистических данных или даже для финансовой проверки.

В соответствии с вышеприведенным определением, база данных предприятия станет математической моделью, если мы "оторвем" ее самого предприятия, и будем заниматься ею как полностью самостоятельным объектом.

Такую "оторванную" базу данных легко модифицировать в самых различных целях. И можно даже сделать из нее базу данных, которая с реальностью ничего общее уже не имеет. Совсем как в математике!

Такого рода базы данных - отличаются ли они чем-то принципиально от моделей движения планет Солнечной системы (которые без сомнения признаются математическими моделями)?

Формальные модели или математические модели?

Наверное, все согласятся, что модели, которые оторваны от своих "оригиналов" (т.е. застывшие и самодостаточные модели) образуют важный класс моделей. Но, быть может, их лучше называть формальными моделями, а "настоящие" математические модели - это структуры "более тонкой природы"?

База данных предприятия, несомненно, представляет собой формальную модель, но кто посмеет назвать ее математической?

Но как в таком случае следовало бы назвать науку, занимающуюся не исследованием какой-то одной формальной модели, или специфического класса формальных моделей, а исследованием формальных моделей как таковых? Это, "случайно", все-таки - не математика?

Виктор Михайлович Глушков ответил на это так:

"Если же вы считаете, что математика должна иметь более светлое будущее, то надо, вероятно, согласиться с тем, что вышеупомянутые методы следует тоже отнести к математике. В противном случае математика будет идти к упадку, а вместо нее будет рождаться нечто новое."

В. М. Глушков. Гносеологические основы математизации наук. Препринт семинара Института кибернетики АН УССР “Методологические вопросы кибернетики”, Киев, 1965 г. (online copy)

Поэтому я хочу утверждать, что застывший характер и самодостаточность является подлинным отличительным признаком именно математических моделей. Только благодаря этому тезису мы открываем истинную "перпендикулярную" природу математики как науки. Математика может исследовать любые объекты, процессы, системы и т.д. без каких-либо ограничений.

Специфическим является здесь только подход (метод!) - создавать модели, которые есть смысл исследовать без обращения к "оригиналам". Математика должна заниматься развитием методов построения и исследования таких моделей.

Это мое определение математики.

Система целых чисел - модель процессов счета. Система действительных чисел - модель процессов измерения. Эти две структуры наиболее часто используются при построении математических моделей. Поэтому "численное моделирование" у многих все еще ассоциируется с "настоящим" математическим моделированием вообще. Но это уже давно не так.

В информатике широко используются т.н. языки первого порядка (и их аналоги) - они моделируют понятие онтологии. Поэтому в информатике сейчас принято говорить об онтологиях во множественном числе. По-моему, в своей вышеупомянутой речи 1965 г. Глушков уже подходил к этому...

Отрицательный аспект

Оторванность математических моделей от "оригиналов" делает возможными бесполезные направления исследований, когда исследуются "модели в себе", которые никогда не будут применятся для моделирования чего-то полезного. Но очень важно сознавать, что основу этих отрицательных явлений составляет сам основополагающий принцип - возможность оторвать модель от "оригинала" и заниматься ею долгое время, полностью игнорируя "оригинал", и наконец - возможность изменить модель таким образом, что она не отвечает уже никакому "оригиналу". Смешно? Но без этого нет математики!

Почему не все с этим согласны?

Почему математики, как правило, не согласны, что отличительным признаком математических теорий является именно их застывший характер и самодостаточность?

С. С. Лавров

Святослав Сергеевич Лавров в письме (октябрь 1988 г.) объяснил мне это так:

Фото: Санкт-Петербургское математическое общество

...Во-вторых, внутри любой теории ее теоремы состоят, как правило, из двух частей: условия и заключения. Заключение теоремы является, таким образом, следствием не только застывшей совокупности аксиом, но и конкретного, специфического для данной теоремы условия. А что такое условие, если не расширение застывшей системы принципов? В-третьих, любая математическая теория открыта для пополнения новыми понятиями. Так, в анализе вслед за понятием непрерывности функциии вводятся: понятие точки разрыва, классификация таких точек, понятие функции, непрерывной на отрезке, на других множествах, равномерной непрерывности, условия Липшица, модуля непрерывности и т.д. Исследуются свойства каждого нового понятия и эти свойства постепенно оттесняют на задний план исходную совокупность аксиом...

Все это нисколько не противоречит тезису о неизменности исходной системы принципов (аксиом и правил вывода), но препятствует восприятию математических теорий как "застывших" работающими математиками.

Но разве это все?

Осознание застывшего и самодостаточного характера математических моделей - это только первый шаг в понимании природы математики. Но, по-моему, без этого шага невозможно правильно понять ни особое положение математики среди других наук, ни то, как математика действует.

Но разве это все?

Два полушария математики?

Как известно, существуют два механизма мозговой деятельности человека:

а) "Лево-полушарный" - это "компьютер", эффективно выполняющий алгоритмические действия и умеющий хорошо действовать в рамках заданных правил (не спрашивая, "зачем").

б) "Право-полушарный" - это "творец", способный выходить за рамки заданных правил (это и есть творчество).

Сергей Юрьевич Маслов усмотрел здесь аналогию с "некоторыми аспектами развития математики":

С. Ю. Маслов. Асимметрия познавательных механизмов и ее следствия. Семиотика и информатика, вып. 20, АН СССР, ВИНИТИ, Москва, 1983, стр. 3-31 (online copy).

С. Ю. Маслов. Теория дедуктивных систем и ее применения. Радио и связь, Москва, 1986, 133 стр.

С. Ю. Маслов

См. также Архив академика А. П. Ершова

"... в большинстве применений каждый конкретный процесс моделируется фиксированной системой того или иного типа и изучаются свойства этой дедуктивной системы. Однако в более сложных случаях сутью моделируемого процесса оказывается переход от одного исчисления к другому."

Фото: Санкт-Петербургское математическое общество

Два измерения математики!

Отбросив осторожность, я бы распространил эту аналогию не только на "некоторые аспекты развития математики", но и на всю математику вообще.

Итак, в мире математических моделей люди занимаются двумя видами деятельности:

а) Исследование фиксированной модели, фиксированной математической структуры или системы аксиом. Это соответствует "профилю" левого полушария - способности эффективно действовать в рамках заданных правил (не спрашивая "зачем").

б) Изменение имеющихся моделей, математических структур или аксиом, и создание новых. Это соответствует "профилю" правого полушария - способности выходить за рамки заданных правил, пробовать что-то новое.

Таким образом, получается, что математика действует как бы в двух измерениях.

Большая часть рабочего времени математиков проходит в направлении первого измерения - работая в фиксированной теории (над фиксированной математической структурой). Именно здесь источник "непостижимой эффективности" математики - способность математиков получать максимальное количество заключений из заданного количества посылок. Но время от времени они вынуждены продвигаться и вдоль второго измерения - изменяя свои теории (структуры), или изобретая новые.

Такова теперь моя модель математики.

О втором измерении

Первое измерение не исчерпывает всю сущность математики. Разве математика - неупорядоченная "куча" несвязанных (хотя и фиксированных и самодостаточных) структур? Разумеется, нет.

Математика - система таких структур, поэтому исследование закономерностей этой системы следовало бы считать важной задачей философии математики.

С этой точки зрении, знаменитый многотомный трактат Никола Бурбаки "Элементы математики" следует считать попыткой систематического рассмотрения второго измерения математики.

См. также: математическая теория категорий - Category theory, Wikipedia, the free encyclopedia.

Приложение 1

А. Н. Колмогоров, "Математика", БСЭ, 1938/1954 г.(online copy):

"...процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций; с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнён математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода."

Приложение 2

Фундаментализм - чрезмерное увлечение т.н. теоретико- множественными основаниями математики, характерное для многих специалистов по математической логике и теории множеств. С их точки зрения, поскольку всю математику "можно вывести" из теории множеств, то все философские проблемы математики сводятся к проблемам теории множеств. В настоящее время здесь главным направлением исследований считается т.н. теория больших кардиналов.

Foundations of Mathematics (FOM)

Анти-фундаментализм - математику пытаются вернуть в разряд эмпирических (или хотя-бы "квази-эмпирических") наук, или пытаются подменить математику "математической деятельностью", особым "культурным феноменом". "Математика без оснований!""Математике не нужны основания, ей нужны крылья!"

Thomas Tymoczko (ed.). New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986. Revised edition, 1998

Структурализм

Michael D. Resnik. Mathematics as a Science of Patterns, 1999

Приложение 3

Самая интересная статья по логике, прочитанная недавно:

John F. Sowa, Arun K. Majumdar. Analogical Reasoning. In: Conceptual Structures for Knowledge Creation and Communication, Proceedings of ICCS 2003, LNAI 2746, Springer-Verlag, Berlin, 2003, pp. 16-36. (online copy).

С учетом современных достижений в области искусственного интеллекта, дедукция, индукция и аналогия представляются как три стороны одного процесса.

Назад