Назад

Математика как социальное явление

Начнем наше исследование с чего-то бесспорного: рассмотрим математику как известное всем странное социальное явление. Что мы видим:

1) Есть люди, большинство из них носят очки, но не носят галстуков, и они называют себя математиками.

2) Университеты предлагают учебные программы по математике, там действуют кафедры математики. Можно получить математическое образование. Выполнив требования определенного ритуала, можно защитить диссертацию, став доктором математики.

3) Выполнив требования определенного ритуала, можно надеяться получить государственное финансирование для математических исследований.

4) Устраиваются математические научные конференции и издаются математические научные журналы. Выполнив требования определенного ритуала, можно стать участником этих конференций и можно публиковать математические статьи.

Какой смысл в такой характеристике? Ведь все другие науки и псевдо-науки тоже представляют собой подобные же социальные явления!

И все-таки...

Математика - социальный ритуал?

В 1972 г. Филип Дэвис, по-видимому, первым серъезно предположил, что многие "факты", которые математики считают "надежно установленными", на самом деле таковыми не являются:

Davis, P. J. Fidelity in mathematical discourse: Is one and one really two? American Mathematical Monthly, 1972, 79(3):252–263.

Затем Дэвис и Рубен Херш развили эту мысль дальше, и пришли заключению, что абсолютная "объективность, точность и строгость" математики является иллюзией, и что особый социальный ритуал является существенным и неотъемлемым компонентом математики (тезис Дэвиса-Херша). См. например,

Philip J. Davis and Reuben Hersh. Rhetoric and mathematics. In J. S. Nelson, A. Mcgill & D. N. McCloskey (Eds.), The rhetoric of the human sciences. Madison: University of Wisconsin, 1987, pp. 53-69.

"In the real world of mathematics, a mathematical paper does two things. It testifies that the author has convinced himself and his friends that certain "results" are true, and presents a part of the evidence on which this conviction is based."

Возможно, многим это покажется преувеличением и незаслуженным упреком математике: она-де, не "объективная наука" (что бы это ни означало), а только особый элитарный социальный ритуал, посредством которого группа людей получает и удовольствие, и материальные блага.

И все-таки, тезис Дэвиса-Херша содержит больше истины, чем нам (математикам) хотелось бы...

Математика на грани возможного

Дело в том, что ритуальный компонент математики становится особенно заметным, когда обсуждаются сложнейшие математические доказательства. Разве, решая все более сложные математические проблемы, мы не приближаемся к пределам человеческих способностей? (Для специалиста по информатике неизбежность наступления такой ситуации очевидна.)

Например, когда 23 июня 1993 г. Эндрю Уайлс, после 7 лет упорного труда объявил, что владеет доказательством Великой Теоремы Ферма, он вскоре обнаружил в своем рассуждении существенный пробел. Только после многих месяцев отчаянной борьбы, 19 сентября 1994 г. к нему пришла идея, позволившая завершить доказательство.

Но насколько обоснованна уверенность математиков в том, что теперь очень сложное доказательство Уайлса больше ошибок не содержит? На чем основана эта уверенность?

Подобные ситуации в математике повторяются все чаще: неоднократно объявляются ошибочные доказательства (в том числе - серъезные) гипотезы Б. Римана, гипотезы простых чисел - близнецов, ошибочные решения других знаменитых нерешенных проблем. В лучшем случае, после исправления ошибки обнаруживается следующая...

С самым сложным в истории математическим доказательством (теорема о классификации простых конечных групп) ситуация еще хуже:

"To my knowledge the main theorem of [AS] closes the last gap in the original proof, so (for the moment) the Classification Theorem can be regarded as a theorem. On the other hand, I hope I have convinced you that it is important to complete the program by carefully writing out a more reliable proof in order to minimize the chance of other gaps being discovered in the future."

Michael Aschbacher. The Status of the Classification of the Finite Simple Groups. Notices of the AMS, August 2004, vol. 51, N 7, pp. 736-740(online copy)

Формулировку теоремы см. Classification of finite simple groups, Wikipedia, the free encyclopedia.

Конечно, это не исключает, что подобно Великой Теореме Ферма, некоторые из знаменитых проблем будут все-таки решены. Но будет ли это всегда означать, что предлагаемые очень сложные математические доказательства не содержат ошибок? Или заключение опять будет гласить "ритуально": крупнейшие специалисты пришли к согласию, что наконец, "доказательство полное и правильное"?

Проблема четырех красок: машинная математика?

Ровно 30 лет назад, в 1976 г. появилось еще одно свидетельство, что "так жить нельзя". (Для специалиста по информатике неизбежность наступления таких ситуаций очевидна.)

Теорема Четырех Красок. Любую географическую карту можно раскрасить 4 красками так, что смежные государства всегда будут окрашены по-разному.

В качестве гипотезы эта теорема была предложена Ф. Гутри в 1852 г., но ее доказательство удалось закончить только в 1976 г. Это сделали Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель (см. их биографии) и притом - ранее невиданным способом!

В течении 4 лет они потратили 1200 часов (тогдашнего) машинного времени, проверив таким образом 1476 вариантов, и установив в результате истинность Теоремы Четырех Красок. Ни один человек не в состоянии не только провести такой анализ "вручную", но даже просто проверить результаты, выданные компьютером!

За прошедшие 30 лет доказательство Хакена-Аппеля усовершествовано, объем машинного перебора уменьшился до 633 вариантов, но для человека проверка результатов этого перебора все равно остается недоступной.

Подробнее см. The Four Color Theorem, 1995, Robin Thomas.

Единственный настоящий успех: в 2004 г. лучшее из известных доказательств (вместе с компьютерной программой перебора) удалось полностью формализовать, и его корректность была проверена (и подтверждена) с помощью универсальной программы Coq proof checking system. Подробнее см.

A computer-checked proof of the Four Colour Theorem, 2004, Georges Gonthier.

Но ситуацию это не меняет: для нас - людей, доказательство Теоремы Четырех Красок остается недоступным. Мы задаем вопрос, компьютер выдает ответ, но обоснование ответа остается непонятным - даже если компьютер распечатал для нас это обоснование на нескольких десятках метров бумаги.

Аналогичная ситуация возникла:

- в 1989 г., когда Клемент Лэм с коллегами, используя супер-компьютер Cray, завершил свое доказательство, что невозможна проективная плоскость 10-го порядка. См. Projective plane, Wikipedia, the free encyclopedia.

- в 1998 г., когда Томас Хейлс завершил свое доказательство гипотезы И. Кеплера (1611 г.) о наиболее плотной упаковке апельсинов в пространстве. См. Kepler conjecture, Wikipedia, the free encyclopedia.

Которым из двух видов доказательств мы должны доверять больше - "рутинным" машинным доказательствам, или сверхсложным "ручным" доказательствам? Где ошибки более вероятны?

Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель

Свои или не свои среди математиков? Только после долгих поисков в интернете мне удалось заполучить фотографии этих двух революционеров. Я с удовольствием публикую их ниже.

Дискуссии 1976 г.: В каком смысле "доказана" Теорема Четырех Красок? Является ли результат Хакена - Аппеля "настоящей" математикой?

И должны ли войти в историю шахмат авторы компьютерной программы, победившей Г. Каспарова? Они тоже - "не свои" для шахматистов?

Фото: European Mathematical Society, Newsletter No. 46, December 2002, pp. 15-19.

Машинная математика
против математики человеческой?

Путем привлечения компьютеров пределы математических способностей человечества отодвигаются дальше. Какой она будет - эта новая, только частично доступная человеку математика?

Дорон Зейлбергер усматривает здесь аналогию с ситуацией, которая сложилась вокруг игры в шахматы. В настоящее время шахматисты-люди могут соревноваться только между собой, не надеясь уже на победы над лучшими из компьютерных шахматных программ. Так и в математике будущего: математики-только-люди (отказывающиеся от помощи компьютеров) смогут развивать только свою ограниченную "любительскую" математику.

См. интереснейшие сочинения Д. Зейлбергера на эту тему:

THEOREMS FOR A PRICE: Tomorrow's Semi-Rigorous Mathematical Culture, 1993
"Real" Analysis is a Degenerate Case of Discrete Analysis, 2001
Opinion #57, 2003

Следовательно, нравится это нам (математикам) или нет, но тезис Дэвиса-Херша на самом деле фиксирует неизбежное: сложность ряда математических проблем превосходит человеческие способности, и если в этой ситуации математики откажутся от помощи компьютеров, то часть математики действительно превратится в элитарный социальный ритуал (в худшем смысле слова: с одной стороны - занятие, доступное только выдающимся единицам, с другой - отстающее по результатам от машинной математики).

И, следовательно, концентрация исключительно на том, как и какая математика делается людьми, неуместна. Математика делается уже не только людьми. Мы должны учитывать также, как и какая математика может делаться с помощью компьютеров.

Этим завершается наш первый поток ассоциаций.

Назад